Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 18
18 - Considere o sistema e suponha que A tem um autovalor nulo.
(a) Mostre que .
(b) Mostre que é um ponto crítico e que, além disso, todo ponto pertencente a
determinada reta contendo a origem também é um ponto crítico.
(c) Sejam, e sejam e os autovetores associados. Mostre que as trajetórias
são como as indicadas na Figura 9.1.8. Qual é o sentido do movimento nas trajetórias?
Passo 1
Considere o seguinte sistema:
Aqui, tem um valor próprio zero.
Um ponto é considerado um ponto crítico se, .
Um vetor diferente de zero é considerado um autovalor de se .
Um ponto crítico é um ponto tal que .
Isso implica que pontos críticos satisfazem .
Note que é um ponto crítico, porque
Observe que tem um valor próprio zero, existe um vetor próprio diferente de zero que
Então, também é um ponto crítico.
Além disso, cada ponto que está na linha que passa pela origem, portanto, também é um ponto crítico, porque .
Portanto det(A)=0.
Passo 2
b) Vamos e , e suponha e são valores próprios de com autovetores correspondentes e .
A solução geral de é,
Assim, à medida que aumenta, a solução se move na direção , a partir do seu ponto inicial. Portanto, as trajetórias são linhas paralelas a .
O sinal de determina a direção do movimento.
Passo 3
c)
De acordo com os dados, os valores próprios são .
Aqui, os autovetores correspondentes são e .
Portanto, a solução geral deste sistema é,
À medida que aumenta, a solução se move na direção de desde o ponto inicial.
Portanto, as trajetórias são as linhas paralelas a e dependem do sinal de .
Quando , a direção do movimento é e , a direção do movimento é .
Resposta
a)Veja a solução.
b)
Assim, à medida que aumenta, a solução se move na direção , a partir do seu ponto inicial. Portanto, as trajetórias são linhas paralelas a .
O sinal de determina a direção do movimento.
c) À medida que aumenta, a solução se move na direção de desde o ponto inicial.
Portanto, as trajetórias são as linhas paralelas a e dependem do sinal de .
Quando , a direção do movimento é e , a direção do movimento é .