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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 4d

Identificar as afirmações verdadeiras:

d) O conjunto A = { ( x ,   y ) | x 2 + 2 x + y 2 - 4 y > 0 } é conexo.

Passo 1

A definição prática de conjunto conexo é um conjunto que não tem nenhuma grande divisão que separe o conjunto todo em duas ou mais partes, de forma que elas não possam ser ligadas passando por fora do conjunto. Além disso, ele não pode ser um conjunto que se estende até o infinito

Passo 2

Então vamos ver se esse conjunto aí é conexo, mas primeiro vamos dar uma ajeitada nele pra identificar que equação é essa.

x 2 + 2 x + y 2 - 4 y > 0

Completando os quadrados:

x 2 + 2 x + 1 + y 2 - 4 y + 4 > 1 + 4

x + 1 2 + y - 2 2 > 5

Essa equação representa a bordinha e a parte de fora de uma circunferência de centro ( - 1 ,   2 ) e raio 5 .

Bom, isso aí ser basicamente todo o R 2 , exceto a parte de dentro da circunferência. Isso é conexo? Sim! Só não é simplesmente conexo, porque pra ligar pontos opostos da circunferência, por exemplo, vamos precisar de mais de uma linha pra não passar pela parte vazia.

Resposta

Verdadeira.

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Identificar as afirmações verdadeiras:a) P ( 0 ,0 ) é ponto de acumulação do conjunto A = x ,y ∈ R 2 yx } .
Representar graficamente os seguintes subconjuntos de R 2 . Identificar os conjuntos abertos. { x , y ∈ R 2 | y3 }
Representar graficamente os seguintes subconjuntos de R 2 . Identificar os conjuntos abertos. { x , y ∈ R 2 | x 2 - 4 x + y 2 ≥ 0 }
Seja A = { x ,y ∈ R 2 | 0x 2 + y 2 + 2 y + 11 } . Verificar se os pontos: a )0 ,- 1 2 b )( 0 ,- 1 ) c )( - 1 ,- 1 ) d )( 1 ,1 ) e )( 0 ,0 ) f ( 3 ,4 ) são pontos de acumulação de A .
Identificar as afirmações verdadeiras:h) O conjunto x ,y ∈ R 2 x ,y ∈ Q } não tem ponto de acumulação.