Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 1d

Descreva o domínio das seguintes funções:

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Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de domínio.

Basicamente, para uma função , o seu domínio é o conjunto de todos os valores de e , ou melhor, é o conjunto de todos os pontos que dão um resultado válido para a função e nos quais ela está definida.

Portanto, a ideia que precisamos ter é a seguinte: observando a forma da função , vamos verificar os valores de e que poderiam tornar a função dada inválida, ou seja, que dariam um resultado inexistente a ela.

Passo 2

Então, para o nosso presente caso, a função tem uma raiz quadrada. Precisamos lembrar que o radicando (valor dentro da raiz) precisa ser positivo e maior ou igual a zero, pois não existe um resultado real para a raiz quadrada de um número negativo.

Escrevendo essa informação matematicamente:

Vamos tentar transformar essa inequação de forma que ela represente uma superfície conhecida.

Passo 3

Se multiplicarmos toda a inequação por , teremos:

Não se esqueça que ao multiplicar uma inequação por um valor negativo, o sinal da diferença se torna o contrário, beleza?

E lembrando que a equação de um círculo de raio é dada por:

Podemos rearranjar a diferença para que tenha uma forma parecida com a do círculo. Para tanto, vamos completar quadrados a fim de transformar os termos com em um produto notável. Logo, somando em ambos os lados da inequação:

Isso pode ser dado por:

Temos, então, que os valores dos pontos precisam ser tais que estejam contidos dentro da esfera de raio deslocada em uma unidade no eixo positivo de .