Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 1d
Descreva o domínio das seguintes funções:
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Passo 1
E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D
Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de domínio.
Basicamente, para uma função , o seu domínio é o conjunto de todos os valores de e , ou melhor, é o conjunto de todos os pontos que dão um resultado válido para a função e nos quais ela está definida.
Portanto, a ideia que precisamos ter é a seguinte: observando a forma da função , vamos verificar os valores de e que poderiam tornar a função dada inválida, ou seja, que dariam um resultado inexistente a ela.
Passo 2
Então, para o nosso presente caso, a função tem uma raiz quadrada. Precisamos lembrar que o radicando (valor dentro da raiz) precisa ser positivo e maior ou igual a zero, pois não existe um resultado real para a raiz quadrada de um número negativo.
Escrevendo essa informação matematicamente:
Vamos tentar transformar essa inequação de forma que ela represente uma superfície conhecida.
Passo 3
Se multiplicarmos toda a inequação por , teremos:
Não se esqueça que ao multiplicar uma inequação por um valor negativo, o sinal da diferença se torna o contrário, beleza?
E lembrando que a equação de um círculo de raio é dada por:
Podemos rearranjar a diferença para que tenha uma forma parecida com a do círculo. Para tanto, vamos completar quadrados a fim de transformar os termos com em um produto notável. Logo, somando em ambos os lados da inequação:
Isso pode ser dado por:
Temos, então, que os valores dos pontos precisam ser tais que estejam contidos dentro da esfera de raio deslocada em uma unidade no eixo positivo de .
Portanto, podemos dizer que o domínio da função, ou seja, todos os valores de e que dão um resultado real a ela precisam atender a essa inequação.
Em termos matemáticos, o domínio é dado por: