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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 3

Considere um triângulo isósceles situado no semiplano y ≥ 0 e com base paralela ao eixo x . Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação deste triângulo, em torno do eixo x , é igual ao produto da área deste triângulo pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo baricentro do triângulo.

Passo 1

Iremos supor que a base desse triângulo estará no eixo x , já que para qualquer triângulo somente precisaremos transladar os eixos para estar no eixo x quando provarmos para o triângulo com base no eixo x , estaremos provando para todos!!!!

Então vamos lá!!! Vamos desenhar o triângulo!

O ponto A é a origem e tem coordenadas (0,0)

O ponto B tem coordenadas ( a ,0), em que a é igual ao comprimento da base

O ponto E é o ponto médio do lado AB, então tem coordenadas a 2 , 0

O ponto C tem coordenadas iguais a a 2 , b em que b é a altura do triângulo.

Caso tenha dificuldade em verificar as coordenadas desse ponto pensa em altura e distância do ponto A, pois ele é a origem.

Além disso os pontos A.E e B não tem altura, todos tem coordenada y = 0

Colocando no início o que devemos procurar! Para termos um norte:

Área do triângulo = a b 2

A coordenada do baricentro é a média aritmética entre todos os vértices, lembra de geometria analítica?

G = A + B + C 3 = a 2 , b 3

Então o raio da circunferência é dada por b 3 e o seu comprimento é dado por 2 π b 3 , então o que estamos procurando é:

V = a b 2 2 π b 3

Passo 2

Algo interessante que podemos perceber é que essa figura é simétrica em relação a reta CE, então podemos fazer a integração da abscissa 0 até a abscissa a 2 . Só que não se esqueça! Se fizermos isso precisaremos multiplicar por 2!!

Além disso, sabemos que a equação de uma reta é uma função do 1° grau. Lembra? Então teremos que achar a equação da reta AC e integrá-la pelo intervalo de integração que falamos no parágrafo anterior:

Focaremos em achar a equação da reta AC:

AC ( y = m x + h )

O termo linear h é igual a 0 , mas porquê???

Toda reta que parte da origem, é o nosso caso, tem o termo linear igual a 0 .

Falta encontrarmos m , coeficiente angular. Como faremos isso?

Ache um ponto que pertença a reta! Esse ponto é o C a 2 , b . Então

Quando x = a 2 , y é igual a b

y = m x

b = m a 2

2 b a = m

Nossa reta está definida:

y = 2 b a x

Lembra da fórmula hein!!!

  V = π ∫ f ( x ) 2 d x

Passo 3

Nosso intervalo de integração será x = 0   e   x = a 2 , e a função f ( x ) = 2 b a x e não esqueça que precisaremos multiplicar por 2!

V   =   π ∫ 0 a 2 2 b a x 2   d x = π ∫ 0 a 2   4 b 2 a 2 x 2 d x =   4 b 2 π a 2 ∫ 0 a 2 x 2 d x = 4 b 2 π a 2 x 3 3 a 2 0 = 4 b 2 π a 2 a 3 24 = π b 2 a 6

Multiplicando por 2, lembre-se da simetria!

V = 2 π b 2 a 6 = a b 2 2 π b 3

Conforme escrevemos lá no início!! Ufaaa terminamos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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