Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 3

Considere um triângulo isósceles situado no semiplano e com base paralela ao eixo . Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação deste triângulo, em torno do eixo , é igual ao produto da área deste triângulo pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo baricentro do triângulo.

Passo 1

Iremos supor que a base desse triângulo estará no eixo , já que para qualquer triângulo somente precisaremos transladar os eixos para estar no eixo quando provarmos para o triângulo com base no eixo , estaremos provando para todos!!!!

Então vamos lá!!! Vamos desenhar o triângulo!

O ponto A é a origem e tem coordenadas (0,0)

O ponto B tem coordenadas (,0), em que é igual ao comprimento da base

O ponto E é o ponto médio do lado AB, então tem coordenadas

O ponto C tem coordenadas iguais a em que é a altura do triângulo.

Caso tenha dificuldade em verificar as coordenadas desse ponto pensa em altura e distância do ponto A, pois ele é a origem.

Além disso os pontos A.E e B não tem altura, todos tem coordenada

Colocando no início o que devemos procurar! Para termos um norte:

Área do triângulo =

A coordenada do baricentro é a média aritmética entre todos os vértices, lembra de geometria analítica?

Então o raio da circunferência é dada por e o seu comprimento é dado por , então o que estamos procurando é:

Passo 2

Algo interessante que podemos perceber é que essa figura é simétrica em relação a reta CE, então podemos fazer a integração da abscissa até a abscissa . Só que não se esqueça! Se fizermos isso precisaremos multiplicar por 2!!

Além disso, sabemos que a equação de uma reta é uma função do 1° grau. Lembra? Então teremos que achar a equação da reta AC e integrá-la pelo intervalo de integração que falamos no parágrafo anterior:

Focaremos em achar a equação da reta AC:

AC (