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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 9

Verifique que, para todo natural n >= 2 ,

int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = (n - 1)/(n) int_0^((pi)/(2)) sin^(n - 2) x d x

Passo 1

Primeiro vamos dizer que:

sin^n x = sin^(n - 1) x xx sin x

Sabendo disso podemos reescrever a integral como sendo:

int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = int_0^((pi)/(2)) sin^(n - 1) x xx sin x d x

Agora podemos usar a integração por partes e dizer que:

u = sin^(n - 1) x -> d u = (n - 1) sin^(n - 2) x cos x d x e v = - cos x -> d v = sin x d x

Aplicando a integração por partes, temos:

int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = [sin^(n - 1) x xx (- cos x) - int - cos^2 x (n - 1) sin^(n - 2) x d x] ((pi)/(2))/(0)

int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = [- sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int (1 - sin^2 x) sin^(n - 2) x d x] ((pi)/(2))/(0)

int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = [- sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int sin^(n - 2) x d x - (n - 1) int sin^n x d x] ((pi)/(2))/(0)

Passo 2

Repare que dos dois lados temos o mesmo termo int sin^n x d x :

int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = [- sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int sin^(n - 2) x d x - (n - 1) int sin^n x d x] ((pi)/(2))/(0) =

Assim podemos passar para o outro lado somando:

int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x + (n - 1) int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = [- sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int sin^(n - 2) x d x] ((pi)/(2))/(0)

(n - 1 + 1) int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = [- sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int sin^(n - 2) x d x] ((pi)/(2))/(0)

n int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = [- sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int sin^(n - 2) x d x] ((pi)/(2))/(0)

int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = (1)/(n) [- sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int sin^(n - 2) x d x] ((pi)/(2))/(0) =

int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = [- (1)/(n) sin^(n - 2) x cos x] ((pi)/(2))/(0) + ((n - 1))/(n) int_0^((pi)/(2)) sin^(n - 2) x d x

Passo 3

Agora vamos resolver essa parte da integral usando o teorema fundamental:

[- (1)/(n) sin^(n - 2) x cos x] ((pi)/(2))/(0)

Só aplica cada limite de integração a função:

- (1)/(n) [sin^(n - 2) ((pi)/(2)) cos ((pi)/(2)) - (sin^(n - 2) (0) cos (0))] =

= - (1)/(n) ((sin ((pi)/(2)))^(n - 2) cos ((pi)/(2)) - ((sin (0))^(n - 2) cos (0))) =

= - (1)/(n) ((1)^(n - 2) xx 0 - ((0)^(n - 2) xx 1)) = 0

Assim, se substituirmos na integral teremos:

int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = [- (1)/(n) sin^(n - 2) x cos x] ((pi)/(2))/(0) + ((n - 1))/(n) int_0^((pi)/(2)) sin^(n - 2) x d x

int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = 0 + ((n - 1))/(n) int_0^((pi)/(2)) sin^(n - 2) x d x = ((n - 1))/(n) int_0^((pi)/(2)) sin^(n - 2) x d x

int_0^((pi)/(2)) sin^n x d x = ((n - 1))/(n) int_0^((pi)/(2)) sin^(n - 2) x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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