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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 60

  1. Construa um polinômio f ( x ) que tenha raízes em x   =   - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1   e   2 .
  2. Esboce o gráfico de f   e de sua derivada f ' juntos. Como o que você vê está relacionado com o teorema de Rolle?
  3. A função g ( x )   =   s e n   x e sua derivada g ' ilustram o mesmo fenômeno de   f e f   ' ?

Passo 1

Nos itens a e b da questão ele pede para que construamos um polinômio com as raízes apresentada e para isso utilizaremos a fatoração de polinômios com relação as suas raízes. Depois, pede para plotarmos os gráficos de f   e   f ' juntos e relacionar ao teorema de Rolle. Por fim, deseja que mostremos se para a função g x = s e n   ( x ) temos o mesmo fenômeno apresentado em f   e   f ' .

Passo 2

Seja p ( x ) um polinômio com n raízes e sejam elas x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . . . . . , x n podemos escrever esse polinômio em função de suas raízes como sendo

p x = x - x 1 x - x 2 x - x 3 … … x - x n .

Para o nosso caso, as raízes serão - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1   e   2 , então, podemos escrever f x da seguinte forma

f x = x - - 2 x - - 1 x ( x - 1 ) ( x - 2 )

f x = x + 2 x + 1 x ( x - 1 ) ( x - 2 )

Lembrando que a - b a + b = a 2 - b 2 podemos reescrever f ( x ) assim

f x = x ( x 2 - 4 ) ( x 2 - 1 )

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação fazemos

f x = ( x 3 - 4 x ) ( x 2 - 1 )

f x = ( x 5 - x 3 - 4 x 3 + 4 x )

f x = ( x 5 - 5 x 3 + 4 x )

Passo 3

Para resolvemos a letra b precisaremos saber quem é a derivada de f ( x ) para que possamos plotar no gráfico juntamente com a função que a gerou. Dessa forma, utilizando a regra de derivação de polinômio temos

f ' x = ( 5 x 4 - 15 x 2 + 4 )

Dessa forma, ficamos com

Percebemos pelo gráfico que cada ponto em quem f ' ( x ) intercepta f ( x ) está entre 2 pontos em que f x intercepta o eixo x como o esperado pelo teorema de Rolle.

Passo 4

Tomando agora a função g x = s e n ( x ) sabemos que g ' x = c o s ⁡ ( x ) e que essas funções são defasadas de π 2 , sendo a função s e n x continua e diferenciável em (   - ∞ ,   ∞ ) a mesma propriedade de f   e   f ' se aplica nesse caso.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que função f(x) = x 3 + 4 x 2 + 7 , tem exatamente uma raiz no interior do intervalo (- ∞ , 0).
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' =4 x - 1 x .
Mostre que função r( θ ) = sec ⁡ θ - 1 θ ³ + 5 ³ , tem exatamente uma raiz no interior do intervalo (0, π 2 ).
Determine a função cuja derivada é f ’ x = e 2 x e cuja curva passe pelo ponto P ( 0 ,3 2 ) .
Suponha que f " seja contínua em [ a ,b ] e quef tenha três raízes no intervalo. Mostre quef " tem pelo menos uma raiz em ( a ,b ) . Generalize esse resultado.