Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 18

Suponha que seja contínua em e quetenha três raízes no intervalo. Mostre que tem pelo menos uma raiz em . Generalize esse resultado.

Passo 1

Bom, do enunciado temos que é continua e, portanto, diferenciável no intervalo Sendo assim, podemos inferir que tanto quanto são também continuas e diferenciáveis no mesmo intervalo. Além disso, o enunciado nos dá que possui 3 raízes dentro desse intervalo que chamaremos: .Após essa análise das informações dadas no enunciado, podemos partir para o que de fato ele quer que é provar que tem, no mínimo, uma raiz dentro desse intervalo e ,depois, ele nos pede para generalizar esse resultado que vamos obter.

Passo 2

Para mostrarmos o que o enunciado pede precisaremos utilizar o Teorema de Rolle que nos diz que quando uma função é continua em um intervalo qualquer e tendo nós vamos ter que existe um número C dentro desse intervalo tal que . Analisando as condições do nosso teorema percebemos que se possui 3 raízes as quais chamamos de , então,. Sendo assim, pelo teorema de Rolle podemos afirmar que existe um número c1 entre tal que e, ainda, que existe um número entre , tal que

Passo 3

Feito isso, agora nós temos uma função que é contínua dentro do intervalo dado no problema e que apresenta 2 raízes nesse intervalo. Dessa forma, podemos aplicar novamente o Teorema de Rolle obtendo o seguinte:

Sendo e a nossa função sendo contínua, podemos afirmar que existe um número entre e tal que . Lembrando que quando um número aplicado em uma função tem como resultado 0, esse número é raiz da nossa função e , assim, concluímos a primeira parte do nosso problema.

Passo 4

Por fim, resta – nos generalizar o problema o que agora fica bem mais simples e pode ser feito da seguinte forma: Dado uma função que apresenta zeros ( raízes) se tivermos umas função continua dentro de um intervalo ,então , tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.