Suponha que f'(x) ≤ 1 para 1 ≤ x ≤ 4 . Mostre que f(4) - f(1) ≤ 3 .

Passo 1

Para mostrarmos o que o exercício pede devemos nos lembrar que se a derivada tem valor menor ou igual a 1 em um certo intervalo, nossa função f (x) é diferenciável dentro desse intervalo, isso vai implicar que nossa função será continua dentro desse intervalo e , portanto, satisfaz as condições do teorema do valor médio.

Passo 2

Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que

(f (b) - f (a))/(b - a) = f ' ( c )

Para o nosso intervalo [1,4] teremos

(f (4) - f (1))/(4 - 1) = f ' ( c )

(f (4) - f (1))/(3) = f ' ( c )

Como f^' (x) <= 1 , então, f^' (c) <= 1 .

Passo 3

Substituindo f^' (c) teremos

f^' (c) <= 1

(f (4) - f (1))/(3) <= 1

Resolvendo a inequação, passando o 3 para o outro lado multiplicando, obtemos

f (4) - f (1) <= 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que função r(θ) = tg(θ) - cotg(θ) - θ , tem exatamente uma raiz no interior do intervalo (0,π / 2 ).
O Exercício fornece a velocidade v = ds / dt e a posição inicial de um corpo que se desloca ao longo de uma reta coordenada. Determine a posição do corpo no instante t para o seguinte caso:v = 32t - 2
O Exercício fornece a velocidade v = ds / dt e a posição inicial de um corpo que se desloca ao longo de uma reta coordenada. Determine a posição do corpo no instante t para o seguinte caso:v = 9,8t +
Mostre que função g(t) = raiz(t) + raiz(1 + t) - 4 , tem exatamente uma raíz no interior do intervalo (0,infinito ).
Determine a função cuja derivada é r'(t) = sec(t) * t * g(t) - 1 e cuja curva passe pelo ponto P(0, 0)