Suponha que para . Mostre que .
Passo 1
Para mostrarmos o que o exercício pede devemos nos lembrar que se a derivada tem valor menor ou igual a 1 em um certo intervalo, nossa função é diferenciável dentro desse intervalo, isso vai implicar que nossa função será continua dentro desse intervalo e , portanto, satisfaz as condições do teorema do valor médio.
Passo 2
Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que
Para o nosso intervalo teremos
Como , então, .
Passo 3
Substituindo teremos
Resolvendo a inequação, passando o 3 para o outro lado multiplicando, obtemos
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)