Convergência e divergência: Quais das sequências {a_n} nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

73. a_n = (3^n ⋅ 6^n) / (2^(-n) ⋅ n!)

Passo 1

Fala, pessoal! Ficaram confusos com essa questão? Não precisa se preocupar que essa a gente Responde Aí juntos!

Para saber se a sequência converge, precisamos tomar o limite quando n → ∞ . Mas, antes de fazer isso, vamos tentar reorganizar a fórmula da sequência de um jeito mais conveniente:

a n = 3 n ⋅ 6 n 2 - n ⋅ n ! = 3 n ⋅ 6 n ⋅ 2 n n ! = ( 2 ⋅ 3 ⋅ 6 ) n n ! = ( 36 ) n n !

Agora você deve tá perguntando porque a gente fez isso. Fica ligado aí no próximo passo!

Passo 2

Pela Fórmula 6 do Teorema 5, a gente já sabe que

l i m n → ∞ x n n ! = 0

para qualquer valor de x . É qualquer valor de x mesmo! Isso inclui, claramente, o número 36 . Então, a gente tem simplesmente que

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ ( 36 ) n n ! = 0

Muito legal, não é mesmo? Então é isso, vamos ficando por aqui. Até mais!

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = 0 .

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