Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 91
Sequências definidas recursivamente: Nos Exercícios 91-98, assuma que cada sequência convirja e encontre o limite.
91.
Passo 1
Fala, pessoal! Agora estamos entrando num novo assunto: sequências definidas recursivamente. Animados? Então, vem comigo!
Bom, o enunciado pede pra gente assumir que a sequência converge. É exatamente isso que vamos fazer, mas a gente também precisa descobrir para qual valor ela converge. Para isso, vamos calcular os primeiros termos da sequência para ver se a gente encontra algum padrão ou se eles se aproximam de algum valor:
Então, até o momento, a gente pode notar que os termos ímpares começaram em e vão crescendo enquanto os pares começam em e vão decrescendo. Isso indica que talvez eles se encontrem em um ponto em comum e talvez esse seja o limite da sequência.
Passo 2
Agora, assumindo que a sequência converge para algum valor, temos que ter
Então, podemos tomar o limite em ambos os lados da relação recursiva:
Porque também.
Passo 3
Agora é só a gente resolver essa equação para :
Então podemos ter ou . Mas, se a gente prestar bem atenção na sequência, dá pra ver que ela não pode assumir valores negativos. Também dá pra provar isso por indução. , então, se , nós temos
Como a sequência é sempre positiva, então o limite dela só pode ser .
Até a próxima, galera!
Resposta
.