Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 105

Teoria e exemplos:

a) Presumindo que l i m n   →   ∞ ( 1 / n c ) = 0 se c for qualquer constante positiva, mostre que

l i m n   →   ∞ l n   n n c = 0

se c for qualquer constante positiva.

b) Prove que l i m n   →   ∞ ( 1 / n c ) = 0 se c for qualquer constante positiva. (Sugestão: se ϵ   = 0,001 e c = 0,04 , quão grande deve ser N para assegurar que | 1 \ n c   -   0 |   <   ϵ   se n   >   N ?)

Passo 1

Fala, pessoal! Ficaram com dúvida nessa questão? Não tem problema porque a gente Responde Aí juntos. Vem comigo!

a) O enunciado pediu pra gente assumir que l i m n   →   ∞ ( 1 / n c ) = 0 se c for qualquer constante positiva e, a partir disso, mostrar que

l i m n   →   ∞ l n   n n c = 0

O limite assim é uma indeterminação do tipo e ∞ ∞ . Logo, temos que usar a regra de L’Hôpital:

l i m n   →   ∞ l n   n n c = l i m n   →   ∞ d d n [ l n   n ] d d n [ n c ] = l i m n   →   ∞ 1 / n c n c - 1 = l i m n   →   ∞ 1 c n c = 1 c l i m n   →   ∞ 1 n c = 0

Massa! Vamos para o próximo item.

Passo 2

b) Seguindo a sugestão do enunciado, vamos ver qual o valor de n para ter | 1 \ n c - 0 | < ϵ . Então,

| 1 \ n c - 0 | < ϵ ⇒ n c < 1 /   ϵ ⇒ n = ( 1 / ϵ ) 1 / c    

Substituindo ϵ = 0,001 e c = 0,04 na fórmula acima, ficamos com

n = ( 1 / ϵ ) 1 / c = ( 1 / 0,001 ) 1 / 0,04 = 1 × 1 0 75

Bom, acho que não preciso dizer muito pra te convencer que esse é um número bem alto, ou suficientemente grande, na linguagem do livro. Então, basicamente nós temos a definição de limite, mostrando que de fato l i m n   →   ∞ ( 1 / n c ) = 0 .

Resposta

Ver a discussão acima.

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Se $1000 forem investidos a uma taxa de juros de 6% , contabilizados anualmente, depois de n anos o investimento valerá a n = 10001,06 n dólares.(a) Encontre os cinco primeiros termos da sequência a n
Use um gráfico da sequência para decidir se ela é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, conjecture o valor do limite a partir do gráfico e então demonstre sua conjectura. a n = 1.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = - 3 n n !
Suponha que você saiba que a n é uma sequência decrescente e que todos os termos estão entre os números 5 e 8 . Explique por que a sequência tem um limite. O que você pode dizer sobre o valor do limit
Use um gráfico da sequência para decidir se ela é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, conjecture o valor do limite a partir do gráfico e então demonstre sua conjectura. a n = 3