Teoria e exemplos:

a) Presumindo que lim (1/n^c) = 0 quando n -> ∞ se c for qualquer constante positiva, mostre que

lim n → ∞ ln n / n^c = 0

se c for qualquer constante positiva.

b) Prove que lim n → ∞ (1 / n^c) = 0 se c for qualquer constante positiva. (Sugestão: se ϵ = 0,001 e c = 0,04 , quão grande deve ser N para assegurar que | 1 / n^c - 0 | < ϵ se n > N ?)

Passo 1

Fala, pessoal! Ficaram com dúvida nessa questão? Não tem problema porque a gente Responde Aí juntos. Vem comigo!

a) O enunciado pediu pra gente assumir que l i m n   →   ∞ ( 1 / n c ) = 0 se c for qualquer constante positiva e, a partir disso, mostrar que

l i m n   →   ∞ l n   n n c = 0

O limite assim é uma indeterminação do tipo e ∞ ∞ . Logo, temos que usar a regra de L’Hôpital:

l i m n   →   ∞ l n   n n c = l i m n   →   ∞ d d n [ l n   n ] d d n [ n c ] = l i m n   →   ∞ 1 / n c n c - 1 = l i m n   →   ∞ 1 c n c = 1 c l i m n   →   ∞ 1 n c = 0

Massa! Vamos para o próximo item.

Passo 2

b) Seguindo a sugestão do enunciado, vamos ver qual o valor de n para ter | 1 \ n c - 0 | < ϵ . Então,

| 1 \ n c - 0 | < ϵ ⇒ n c < 1 /   ϵ ⇒ n = ( 1 / ϵ ) 1 / c    

Substituindo ϵ = 0,001 e c = 0,04 na fórmula acima, ficamos com

n = ( 1 / ϵ ) 1 / c = ( 1 / 0,001 ) 1 / 0,04 = 1 × 1 0 75

Bom, acho que não preciso dizer muito pra te convencer que esse é um número bem alto, ou suficientemente grande, na linguagem do livro. Então, basicamente nós temos a definição de limite, mostrando que de fato l i m n   →   ∞ ( 1 / n c ) = 0 .

Resposta

Ver a discussão acima.

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