Convergência e divergência: Quais das sequências { a_n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

77. a_n = n^2 / (2n - 1) * sen(1/n)

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem com vocês? Que ótimo, então vamos partir para mais uma questão!

Basicamente, o que a gente tem que fazer nessa questão é tomar o limite n → ∞ na sequência e ver se ele existe. Se sim, então a sequência é convergente. Se não, ela é divergente. Mas, antes de tomar o limite, a gente tem que deixar a função de um jeito que a gente tenha termos com limites já conhecidos ou que sejam mais fáceis de calcular.

Então, o que a gente vai fazer é usar a Regra do Produto (4ª regra do Teorema 1) para separar a sequência como multiplicação de duas sequências:

a n = n 2 n   -   1 ⋅ n s e n   1 n

Se a gente definir as sequências

b n = n 2 n   -   1

c n = n s e n   1 n

dá pra ver que a n = b n ⋅ c n e limite da multiplicação é igual a multiplicação dos limites.

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ b n ⋅ l i m n → ∞ c n

Passo 2

Nesse passo, nós vamos calcular o limite para b n . Para isso, vamos multiplicar e dividir por 1 / n :

l i m n → ∞ b n = l i m n → ∞ n 2 n   -   1 ⋅ 1 / n 1 / n = l i m n → ∞ 1 2   -   1 / n = 1 2

Prontinho.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite para c n . Como

l i m n → ∞ c n = l i m n → ∞ n s e n   1 n = l i m n → ∞ s e n   1 n 1 / n

Percebeu o que a gente fez? Agora nós temos uma indeterminação do tipo 0 0 porque a medida que n → ∞ , o valor de 1 n → 0 e a função s e n 1 n → 0 . Nesse caso, temos que usar a regra de L’Hôpital:

l i m n → ∞ c n = l i m n → ∞ d d n s e n   1 n d d n ( 1 / n ) = l i m n → ∞ c o s   1 n - 1 n 2 ( - 1 / n 2 )

l i m n → ∞ c n = l i m n → ∞ c o s   1 n = c o s   0 = 1

Multiplicando os limites de b n e c n , encontramos o limite para a n :

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ b n ⋅ l i m n → ∞ c n = 1 2 ⋅ 1 = 1 2

Então, a gente conclui que a sequência converge para o valor 1 2 . Até a próxima!

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = 1 2 .

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