Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 77
Convergência e divergência: Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
77.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo bem com vocês? Que ótimo, então vamos partir para mais uma questão!
Basicamente, o que a gente tem que fazer nessa questão é tomar o limite na sequência e ver se ele existe. Se sim, então a sequência é convergente. Se não, ela é divergente. Mas, antes de tomar o limite, a gente tem que deixar a função de um jeito que a gente tenha termos com limites já conhecidos ou que sejam mais fáceis de calcular.
Então, o que a gente vai fazer é usar a Regra do Produto (4ª regra do Teorema 1) para separar a sequência como multiplicação de duas sequências:
Se a gente definir as sequências
dá pra ver que e limite da multiplicação é igual a multiplicação dos limites.
Passo 2
Nesse passo, nós vamos calcular o limite para . Para isso, vamos multiplicar e dividir por :
Prontinho.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite para . Como
Percebeu o que a gente fez? Agora nós temos uma indeterminação do tipo porque a medida que , o valor de e a função . Nesse caso, temos que usar a regra de L’Hôpital:
Multiplicando os limites de e , encontramos o limite para :
Então, a gente conclui que a sequência converge para o valor . Até a próxima!
Resposta
Convergente. .