Convergência e divergência: Quais das sequências {a_n} nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

84. a_n = raiz(n^2 + n) / n

Passo 1

Fala, galera!

Vocês provavelmente estão confusos em como resolver essa questão. Não tem problema, vem comigo que a gente Responde Aí juntos.

Nós temos que calcular o limite da sequência quando n → ∞ para saber se a sequência converge ou não. Para a sequência que nós temos, é mais fácil tomar o logaritmo dos dois lados e, depois disso, calcular o limite. Então, tomando o logaritmo, ficamos com

l n a n = l n   n 2   +   n n = l n   n 2   +   n 1 / n = 1 n l n   n 2   +   n

Passo 2

Se a gente tomar o limite n → ∞ , vamos ter uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Então, precisamos usar a regra de L’Hôpital

l i m n → ∞ l n a n = l i m n → ∞ l n   n 2   +   n n = l i m n → ∞ d d n l n   n 2   +   n d d n n = l i m n → ∞ 2 n + 1 n 2   +   n 1

l i m n → ∞ l n a n = l i m n → ∞ 2 n + 1 n 2   +   n

Ok, novamente temos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Nesse caso, temos que aplicar L’Hôpital novamente:

l i m n → ∞ l n a n = l i m n → ∞ d d n 2 n + 1 d d n n 2   +   n = l i m n → ∞ 2 2 n + 1 = 0

Passo 3

Estamos quase lá. Nós conseguimos o limite do logaritmo da sequência. Para conseguir o limite da sequência, temos que aplicar a função exponencial em ambos os lados da equação:

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ e l n a n = e 0 = 1

Ou seja, a sequência converge para 1 . Valeu, galerinha! Até a próxima!

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = 1 .

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