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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 88

Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

88. a n = 1 n 2   -   1   -     n 2   +   n

Passo 1

Fala, pessoal! Para saber se a sequência converge, precisamos tomar o limite n → ∞ . Mas, antes disso, vamos reescrever a sequência numa forma mais conveniente. Vamos multiplicar e dividir por n 2   - 1   + n 2   + n :

a n = 1 n 2   -   1     -     n 2   +   n ⋅ n 2   -   1     +     n 2   +   n n 2   -   1   +     n 2   +   n = n 2   -   1     +     n 2   +   n ( n 2   -   1   ) 2 -   (   n 2   +   n ) 2

a n = n 2   -   1     +     n 2   +   n n 2   -   1   2 -   n 2   +   n 2 = n 2   -   1     +     n 2   +   n n 2 -   1   -     n 2   -     n

a n = - n 2   -   1     +     n 2   +   n 1   +   n

Passo 2

Ainda podemos melhorar essa expressão multiplicando e dividindo por 1 / n :

a n = - n 2   -   1     +     n 2   +   n 1   +   n ⋅ 1 / n 1 / n = - 1 n 2 n 2   -   1     +     1 n 2 n 2   +   n 1   +   1 / n

a n = - 1   -     1 n 2     +     1   +   1 n 1     +     1 / n  

Passo 3

Agora podemos tomar o limite:

l i m n → ∞ a n =   - l i m n → ∞ 1   -   1 n 2     +     1   +   1 n 1     +     1 / n   =   - 1   -   0     +     1   +   0 1   +   0 =   - 2

Ou seja, a sequência é convergente e seu limite é - 2 .

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = - 2

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