Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 86
Convergência e divergência: Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
86.
Passo 1
Fala, galerinha! Tudo bem? Então, vem comigo para mais uma resolução!
Para saber se a sequência converge, temos que calcular o limite dela quando . Se ela for convergente, essa operação já vai nos dar o limite da sequência. Então, nós temos
Tanto o numerador quanto o denominador tendem a infinito, então temos uma indeterminação do tipo . Então, precisamos da regra de L’Hôpital, que nós vamos usar no passo seguinte.
Passo 2
Aplicando L’Hôpital ao limite, nós ficamos com
Então, continuando com uma indeterminação do tipo e precisamos aplicar L’Hôpital de novo:
Passo 3
Ainda temos que aplicar L'Hôpital mais algumas vezes, mas já dá pra notar o padrão:
Então, quando , nós vamos ter
Logo, a sequência converge para .
Resposta
Convergente.