Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 87
Convergência e divergência: Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
87.
Passo 1
Fala, galera! Ficou confuso com o resultado dessa questão? Vem comigo que a gente vai entender como resolver esse problema.
Para saber se a sequência converge, precisamos calcular o limite dela quando . Quando a gente olha para definição da sequência, parece que a medida que . Mas, tem um pequeno detalhe que a gente tem que prestar atenção. Usando a série de Taylor para muito grande, nós podemos mostrar que
onde a gente usou a série de Taylor com . Então, a sequência na verdade tem o seguinte comportamento:
.
Passo 2
Uma outra forma de ver o resultado acima é tomando o limite. Mas, antes disso, temos que usar um truque. Vamos multiplicar e dividir a sequência por :
Agora, nós multiplicamos e dividimos por :
Passo 3
Agora que a sequência está reescrita numa forma bem conveniente, nós podemos tomar o limite:
Para concluir, nós mostramos que . Isso quer dizer que a sequência converge para .
Isso é tudo, pessoal! Nos vemos na próxima!
Resposta
Convergente. .