Convergência e divergência: Quais das sequências { a_n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

87. a_n = n - raiz(n^2 - n)

Passo 1

Fala, galera! Ficou confuso com o resultado dessa questão? Vem comigo que a gente vai entender como resolver esse problema.

Para saber se a sequência converge, precisamos calcular o limite dela quando n → ∞ . Quando a gente olha para definição da sequência, parece que a n → ∞ a medida que n → ∞ . Mas, tem um pequeno detalhe que a gente tem que prestar atenção. Usando a série de Taylor para n muito grande, nós podemos mostrar que

  n 2   - n =   n 1 - 1 / n ≈ n 1 - 1 2 n = n - 1 2

onde a gente usou a série de Taylor 1 - x ≈ 1 - x / 2 ,   x > > 1 com x = 1 / n . Então, a sequência na verdade tem o seguinte comportamento:

a n = n - n 2   - n → n - n - 1 2 = 1 2 .

Passo 2

Uma outra forma de ver o resultado acima é tomando o limite. Mas, antes disso, temos que usar um truque. Vamos multiplicar e dividir a sequência por n + n 2   - n :

a n = ( n   -     n 2   -   n ) ( n   +   n 2   -   n ) n   +   n 2   -   n = n 2   -   (   n 2   -   n ) 2 n   +   n 2   -   n

a n = n n   +     n 2   -   n

Agora, nós multiplicamos e dividimos por 1 / n :

a n = n n   +   n 2   -   n ⋅ 1 / n 1 / n = 1 1   +   1 n 2 n 2   -   n

a n = 1 1   +   1 - 1 / n

Passo 3

Agora que a sequência está reescrita numa forma bem conveniente, nós podemos tomar o limite:

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ 1 1   +   1   -   1 / n = 1 1   +   1 = 1 2

Para concluir, nós mostramos que l i m n → ∞ a n = 1 2 . Isso quer dizer que a sequência converge para 1 2 .

Isso é tudo, pessoal! Nos vemos na próxima!

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = 1 2 .

Exercícios de Livros Relacionados