Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 86
Use a Definição diretamente para demonstrar que quando .
Passo 1
Galerinha, tudo certo?
Primeiro vamos entender a abordagem que seguiremos para realizar essa demonstração. Precisamos usar a Definição 2 do nosso livro:
Uma sequência tem limite e escrevemos
se para cada existir um inteiro correspondente tal que se
então
Precisamos então mostrar que para quando , e .
Passo 2
Pessoal, pra demonstrar isso, temos que achar um valor de tal que, pra cada , teremos .
Parece complicado, mas à medida que você vai trabalhando com isso, essa definição vai ficando mais natural. Olha só:
Usando as propriedades do módulo, temos que . Dessa forma, segue que:
Aplicando o ln dos dois lados da inequação (podemos fazer isso, pois o ln é uma função crescente, de modo que o sentido da desigualdade é preservado):
Usando as propriedes do ln, temos que . Logo,
Como , então . Dessa forma, ao passarmos o dividindo, o sentido da desigualdade deve mudar. Logo:
Assim, podemos considerar e finalizamos a demonstração.
Resposta
Afirmação demonstrada no passo a passo. quando .