23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

26. a_n = n^3 / (n + 1)

Passo 1

Fala, galera! Tudo certo? Vamos para mais uma questão de sequências:

Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com n tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências:

Se lim n → ∞ ⁡ a n existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge.

Nesse caso, devemos calcular o limite da sequência e para facilitar essa tarefa, vamos simplificar a expressão.

Passo 2

Para simplificar a expressão, dividimos todos os termos pelo maior grau do denominador, que é n . Fazemos isso pois o denominador fica muito mais simples e com termos cujo comportamento já conhecemos, então poderemos focar nossa análise no numerador. Dividindo todos os termos pelo maior grau do denominador, que é n , teremos:

lim n → ∞ ⁡ n 3 n n n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ n 2 1 + 1 n

Passo 3

Agora sim podemos analisar o comportamento do limite de uma forma mais clara e calcularmos:

lim n → ∞ ⁡ n 2 1 + 1 n

  • Para o numerador temos que l i m n → ∞ n 2 = ∞ , pois quanto mais n cresce, maiores são os valores de n 2 .
  • Para o denominador temos que l i m n → ∞ 1 + 1 n = 1 , já que a fração 1 n tende a zero. Sendo assim, a conclusão é de que a sequência diverge, uma vez que não é um valor determinado.

lim n → ∞ ⁡ n 2 1 + 1 n = ∞

Resposta

Portanto, a n = n 3 n + 1 é uma sequência divergente.

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