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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 3c

Calcule

int_(- 1)^2 (1)/(4 - x^2) d x

Passo 1

A função a ser integrada, não é definida em x = 2 , então se trata de uma integral imprópria, para calcularmos, vamos primeiramente aplicar o limite

int_(- 1)^2 (1)/(4 - x^2) d x = underset(t -> 2)(lim) int_(- 1)^t (1)/(4 - x^2) d x

Passo 2

Agora vamos calcular a integral normalmente, usando a expansão por frações parciais, focando somente na fração no início

(1)/(4 - x^2) = (A)/(2 - x) + (B)/(2 + x) = (A (2 + x) + B (2 - x))/(4 - x^2)

Então temos a igualdade

A (2 + x) + B (2 - x) = 1

(A - B) x + (2 A + 2 B) = 1

Por igualdade de polinômios temos o sistema

{[[A - B = 0 => A = B],[2 (A + B) = 1]])

Substituindo a primeira expressão na segunda-feira

2 (A + A) = 1

4 A = 1

A = B = (1)/(4)

Então

(1)/(4 - x^2) = (1)/(4) ((1)/(2 - x) + (1)/(2 + x))

Na integral

underset(t -> 2)(lim) int_(- 1)^t (1)/(4 - x^2) d x = underset(t -> 2)(lim) (1)/(4) [int_(- 1)^t (1)/(2 - x) d x + int_(- 1)^t (1)/(2 + x) d x]

= underset(t -> 2)(lim) (1)/(4) [- ln (2 - x) + ln (2 + x)]_(- 1)^t

Passo 3

Substituindo os limites de integração

= underset(t -> 2)(lim) (1)/(4) [- ln (2 - t) + ln (2 + t) + ln (2 + 1) - ln (2 - 1)]

No primeiro logaritmo, quando t -> 2 , ( 2 - t ) -> 0 e

underset(t -> 0)(lim) ln t = - oo

Logo, como todos os outros logaritmos assumem valores reais e finitos

underset(t -> 2)(lim) (1)/(4) [- ln (2 - t) + ln (2 + t) + ln (2 + 1) - ln (2 - 1)] = + oo

Resposta

+ oo

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