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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 1j

É convergente ou divergente? Justifique.

int_0^(oo) (x e^(- x))/(sqrt(x^2 + x + 1)) d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Bom, sabemos que para x >= 0

x^2 + x >= x^2 => x^2 + x + 1 >= x^2

Assim, tirando a raiz

sqrt(x^2 + x + 1) >= x => (x)/(sqrt(x^2 + x + 1)) <= 1

Logo,

0 <= (x e^(- x))/(sqrt(x^2 + x + 1)) <= e^(- x)

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

int_0^(oo) e^(- alpha x) d x

sempre convergem se alpha > 0 . Neste caso, temos alpha = 1 , de modo que a integral

int_0^(oo) e^(- x) d x

é convergente.

Passo 3

Por fim, como temos que

0 <= (x e^(- x))/(sqrt(x^2 + x + 1)) <= e^(- x)

E a integral

int_0^(oo) e^(- x) d x

converge, segue pelo critério da comparação que a integral

int_0^(oo) (x e^(- x))/(sqrt(x^2 + x + 1)) d x

também será convergente!

Resposta

Converge.

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Investigar as integrais impróprias.