Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.15 - Ex. 14a
Investigar as integrais impróprias.
Passo 1
Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.
Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.
Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.
Passo 2
Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:
E pretende-se verificar:
Aplicando o método da substituição simples, podemos dizer que , tal que e a integral se dará por:
Retornando à variável original:
Substituindo os limites de integração:
Pode-se observar que o outro limite lateral terá o mesmo resultado e, portanto, a condição é verificada e o limite existe.
Passo 3
Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).
Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.
Resposta
A integral é convergente.