Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 1h
É convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!
Bom, vamos quebrar a integral em duas:
A primeira integral existe e será igual a um número. Como só queremos analisar se há ou não convergência, não precisamos calcular esse número. Vamos olhar agora para a segunda integral:
Para , segue que . Assim
Logo,
Eu quebrei a integral em duas partes justamente porque para , seria menor que e não seria possível fazer a comparação...
Passo 2
Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo
sempre convergem se . Neste caso, temos , de modo que a integral
é convergente.
Passo 3
Desta forma, usando o teorema da comparação, tiramos que
converge. Assim, como
e a primeira integral do lado direito dá um número e a segunda converge, segue que a integral do lado esquerdo converge.
Resposta
Converge.