É convergente ou divergente? Justifique.

int_2^(oo) (1)/(x^2 ln x) d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Bom, vamos quebrar a integral em duas:

int_2^(oo) (1)/(x^2 ln x) d x = int_2^e (1)/(x^2 ln x) d x + int_e^(oo) (1)/(x^2 ln x) d x

A primeira integral existe e será igual a um número. Como só queremos analisar se há ou não convergência, não precisamos calcular esse número. Vamos olhar agora para a segunda integral:

Para x >= e , segue que ln x >= 1 . Assim

x^2 ln x >= x^2

Logo,

(1)/(x^2 ln x) <= (1)/(x^2)

Eu quebrei a integral em duas partes justamente porque para 2 < x < e , ln x seria menor que 1 e não seria possível fazer a comparação...

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

int_a^(oo) (1)/(x^(alpha)) d x

sempre convergem se alpha > 1 . Neste caso, temos alpha = 2 , de modo que a integral

int_e^(oo) (1)/(x^2) d x

é convergente.

Passo 3

Desta forma, usando o teorema da comparação, tiramos que

int_e^(oo) (1)/(x^2 ln x) d x

converge. Assim, como

int_2^(oo) (1)/(x^2 ln x) d x = int_2^e (1)/(x^2 ln x) d x + int_e^(oo) (1)/(x^2 ln x) d x

e a primeira integral do lado direito dá um número e a segunda converge, segue que a integral do lado esquerdo converge.

Resposta

Converge.

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