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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 14

Encontre uma fórmula para a distância entre os pontos com coordenadas polares ( r 1 , θ 1 ) e ( r 2 , θ 2 ) .

Passo 1

Fala ai galerinha. De boa?

A questão pede para encontrar uma fórmula para a distância entre dois pontos no plano com coordenadas polares ( r 1 , θ 1 ) e r 2 , θ 2 . Para resolver essa questão, podemos seguir os seguintes passos:

  1. Converter as coordenadas polares em coordenadas cartesianas usando a fórmula de conversão.

    2. x = r cos ⁡ θ

    y = r   s e n θ

  2. Utilizar a equação euclidiana entre dois pontos no plano para calcular a distância entre os pontos

    3. d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

  3. Resolver a expressão substituindo os termos.

Agora é só resolver os passos e correr para o abraço!

Passo 2

Vamos converter as coordenadas polares para cartesianas:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

Para os pontos ( r 1 , θ 1 ) e r 2 , θ 2 , suas coordenadas cartesianas correspondentes são:

x 1 , y 1 = r 1 ​ c o s θ 1 ​ , r 1 ​ s i n θ 1 ​

x 2 , y 2 = r 2 ​ c o s θ 2 ​ , r 2 ​ s i n θ 2 ​

Temos:

x 1 = r 1 ​ c o s ( θ 1 ​ )  

y 1 = r 1 ​ s i n ( θ 1 ​ )  

x 2 ​ = r 2 ​ c o s ( θ 2 )

y 2 ​ = r 2 ​ s i n ( θ 2 ​ )

Passo 3

Agora que temos dois pontos com coordenadas cartesianas, podemos usar nossa fórmula para distância:

d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Substituindo as equação para converter as coordenadas:

d = r 1 cos ⁡ θ 1 - r 2 cos ⁡ θ 2 2 + r 1 s e n   θ 1 - r 2 s e n   θ 2 2

Atrav��s dos produtos notáveis, temos que:

r 1 cos ⁡ θ 1 - r 2 cos ⁡ θ 2 2 = r 1 2 cos 2 ⁡ θ 1 + r 2 2 cos 2 ⁡ θ 2 - 2 r 1 r 2 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

r 1 s e n   θ 1 - r 2 s e n   θ 2 2 = r 1 2 s e n 2   θ 1 + r 2 2 s e n 2   θ 2 - 2 r 1 r 2 s e n θ 1 s e n θ 2

Substituindo, temos que d é igual a:

r 1 2 cos 2 ⁡ θ 1 + r 2 2 cos 2 ⁡ θ 2 - 2 r 1 r 2 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 + ( r 1 2 s e n 2   θ 1 + r 2 2 s e n 2   θ 2 - 2 r 1 r 2 s e n θ 1 s e n θ 2 )  

Organizando os termos

r 1 2 cos 2 ⁡ θ 1 + r 1 2 s e n 2   θ 1 ) + ( r 2 2 cos 2 ⁡ θ 2 + r 2 2 s e n 2   θ 2 ) - 2 r 1 r 2 ( cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 + s e n   θ 1 s e n θ 2  

Passo 4

Colocando r 1 2 e r 2 2 em evidência e considerando a relação trigonométrica

cos 2 ⁡ θ 1 + s e n 2   θ 1 = 1

temos.

d = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 ( cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 + s e n   θ 1 s e n θ 2 )  

Agora vamos dar uma lembrada rapidinho em uma fórmula trigonométrica:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ acos ⁡ b - s e n   a   s e n   b

Veja que ela aparece na nossa conta, ali no último termo. Então vamos trocar:

d = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 c o s ⁡ ( θ 1 - θ 2 )  

Assim, essa é a distância que estávamos procurando.

Conseguimos! Até a próxima!

Resposta

A distância entre dois pontos em coordenadas polares é d = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 c o s ⁡ ( θ 1 - θ 2 )  

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