Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 22
Se você tentar utilizar a Fórmula para determinar a área do topo superior da esfera , terá problemas, porque a integral dupla é impropria. De fato, o integrando tem uma descontinuidade infinita em todo ponto da fronteira circular . Entretanto, a integral pode ser calculada sobre o disco com . Utilize este método para mostrar que a área de uma esfera de raio é .
Passo 1
Faala, pessoal!
Essa questão vai fazer a gente pensar em alguns conceitos, então vamos ver com calma...
Primeira coisa: vamos ver quem é essa Fórmula que ele tá falando:
A área da superfície de equação , , onde e são contínuas é:
Beleza, só que a questão fala que a gente não consegue usar essa fórmula pra determinar a área da metade superior de uma esfera, porque ela vai ter uma descontinuidade nos pontos .
Spoiler: isso acontece porque vai aparecer um termo (que da nesses pontos) no denominador quando calcularmos as derivadas parciais...
Então o que ele fala pra gente fazer é usar do conceito de limite!
Se a gente calcular essa integral em vez de no disco , que é o domínio da esfera, no disco , nós deixamos de ter esse problema do no denominador! E aí no final é só fazer que teremos a área da esfera!
Tá, vamos organizar então nosso passo a passo pra resolver isso:
- Definir quem vai ser a função , pra poder calcular as derivadas parciais, e jogar isso na integral. Aqui vai ser mais fácil a gente fazer só o topo superior da esfera, e no final a gente multiplica o resultado por .
- Transformar essa integral em uma integral iterada, a partir do domínio e calcular (nosso resultado vai depender de )
- Calcular o limite desse resultado quando e achamos a área da esfera assim:
A gente já sabe que esse resultado tem que dar
Ent��o vamos lá!!
Passo 2
A gente consegue achar a função que define uma esfera isolando o na equação
Como vamos ver só o topo superior ():
Assim, calculamos as derivadas parciais.
Quando derivamos em função de , consideramos constante, e vamos precisar usar a regra da cadeia:
Como a derivada de :
Pra derivar em função de o processo é o mesmo, agora mantendo constante:
Como a derivada de :
Colocando isso na fórmula:
Resolvendo os quadrados:
Vamos juntar esses termos dentro da raiz em uma fração só:
Como é o raio da esfera, é sempre um valor positivo, então pode sair da raiz e temos:
Passo 3
Vamos olhar pro nosso domínio:
Como isso é um disco, vamos usar coordenadas polares:
Com e .
E o jacobiano:
Além disso, nesse sistema de coordenadas temos:
Então, nossa integral fica assim:
Passo 4
Pra resolver essa integral, vamos calcular de dentro pra fora. Primeiro em função de , considerando constante:
Podemos fazer uma substituição
Então:
Os termos e são constantes e podem sair da integral toda:
A primitiva de é:
Então:
Resolvendo nos limites de integração:
De novo podemos tirar o da raiz, porque é sempre positivo. Além disso, todo esse termo entre parênteses é constante, e sai da integral:
Resolvendo a integral em função de :
Colocando o em evidência:
E então:
Passo 5
Agora nós queremos relacionar essa área com a área de uma esfera.
Isso acontece quando .
Só que como a gente só pegou a parte superior da esfera, também temos que multiplicar por , então:
Percebe que quando o termo , já que tende pra , mas por valores menores, então essa subtração vai ser positiva. Já que isso acontece, podemos tirar a raiz tranquilamente e:
Assim:
E provamos o que o exercício pediu!
Resposta
Demonstração ao longo da resolução.