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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.4 - Ex. 37

Convertendo em uma integral polar: Integre ƒ x ,   y = l n   x 2   +   y 2 x 2 + y 2   sobre a r e g i ã o   1   ≤   x 2   +   y 2   ≤   e .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos então:

A = ∬ R ln ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2   d x   d y

Se passarmos para coordenadas polares:

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Teremos:

A = ∬ D ln ⁡ r 2 r

Onde 1 ≤ r ≤ e e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Assim:

A = ∫ 0 2 π ∫ 1 e ln ⁡ r 2 r   r   d r d θ

A = ∫ 0 2 π ∫ 1 e ln ⁡ r 2 d r   d θ

Passo 2

A = ∫ 0 2 π ∫ 1 e ln ⁡ r 2 d r   d θ

∫ 0 2 π 2   ∫ 1 e ln ⁡ r d r   d θ

Passo 3

Chamando ln ⁡ r = u e d v = d r

2 ∫ 1 2 π ∫ 1 e u d v d θ

Das técnicas de integração, temos que:

∫ u d v = u v - ∫ v   d u

Logo:

2 ∫ 0 2 π r ln ⁡ r 1 e - ∫ 1 e 1   d r d θ  

2 ∫ 0 2 π r ln ⁡ r - r 1 e   d θ

2 ∫ 0 2 π e 2 - e + 1

2 ∫ 0 2 π e 2 - e + 1 d θ

2 e 2 - e + 1 θ 0 2 π

4 π e 2 - e + 1

2 π 2 - e

Resposta

A = ∫ 0 2 π ∫ 1 e ln ⁡ r 2 d r   d θ

E:

A = 2 π 2 - e

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