Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 7

Buraco em uma esfera Um buraco cilindrico é feito através de uma esfera sólida, o eixo do buraco sendo um diâmetro da esfera. O volume do restante do sólido é

V = 2 ∫ 0 2 π   ∫ 0 3   ∫ 1 4 - z 2   r d r d z d θ .

a. Encontre o raio do buraco e o raio da esfera.b. Calcule a integral.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere um cilindro contido no interior de uma esfera, de tal forma que o volume remanescente seja dado por:

V = 2 ∫ 0 2 π   ∫ 0 3   ∫ 1 4 - z 2   r d r d z d θ

Passo 2

(a) Note na integral acima que o raio da esfera é 2 e que o raio do cilindro é 1 . Isto se justifica pelos limites de integração em .r.

Passo 3

(b) Integrando em r .

V = 2 ∫ 0 2 π     ∫ 0 3     r 2 2 4 - z 2 d z d θ V = ∫ 0 2 π     ∫ 0 3     3 - z 2 d z d θ

Integrando em z:

V = ∫ 0 2 π     3 z - z 3 3 0 3 d θ V = 2 3 ∫ 0 2 π     d θ

E finalmente em θ :

V = 2 3 [ θ ] 0 2 π V = 4 π 3

Sendo assim, o volume desejado é V = 4 π 3 .

Resposta

V = 4 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Monte integrais triplas para o volume da esfera r = 2 em coordenadas (a) esféricas, (b) cilíndricas e (c) retangulares.
Seja D a região no primeiro octante delimitada abaixo pelocone f = p/4 e acima pela esfera r = 3. Expresse o volume deD como uma integral tripla iterada em coordenadas (a) cilíndricas e (b) esféricas.
Expresse o momento de inércia Iz do hemisfério sólido x2 +y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0, como uma integral iterada em coordenadas(a) cilíndricas e (b) esféricas. Em seguida, (c) encontre Iz
A porção superior cortada do sólido no Exercício 35 pelo plano xy.
O sólido delimitado pela cardioide de revolução r = 1 – cos f.