Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 27

Semicilindro infinito Seja D o interior de um semicilindro circular reto infinito de raio 1 , com sua extremidade suspensa a uma unidade acima da origem e seu eixo igual ao raio entre ( 0,0 , 1 ) e ∞ . Utilize coordenadas cilindricas para calcular

∭ D   z r 2 + z 2 - 5 / 2 d V

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja D o interior de um meio cilindro circular de raio 1 com sua face única suspendida 1 unidade acima da origem e seu eixo o raio de ( 0,0 , 1 ) até ∞ . Usaremos coordenadas cilíndricas para resolver ∬ D   z r 2 + z 2 - 5 2 d V .Vamos começar? Acompanhe com atenção!

Passo 2

O cilindro é dado pela equação x 2 + y 2 = 1 , de z = 1 até z = ∞ . Assim, o volume será:

  ∬ D     ∫ 2 r 2 + z 2 - 5 / 2 r 2 + z 2 - 5 / 2 d V = ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     ∫ 1 ∞     z r 2 + z 2 5 / 2 d z r d r d θ   ∭ D     z r 2 + z 2 - 5 / 2 d V = l i m a → ∞   ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     ∫ 1 a     r z r 2 + z 2 5 / 2 d z d r d θ   ∬ D     ∫ D     r 2 + z 2 - 5 / 2 d V = l i m a → ∞   ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     - 1 3 r r 2 + z 2 3 / 2 1 a d r d θ   ∬ D     ∫ 2 r 2 + z 2 - 5 / 2 r 2 + z 2 - 5 / 2 d V = l i m a → ∞   ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     - 1 3 r r 2 + a 2 3 / 2 + 1 3 r r 2 + 1 2 3 / 2 d r d θ   ∬ D     ∫ D     r 2 + z 2 - 5 / 2 d V = l i m a → ∞   ∫ 0 2 π     1 3 r 2 + a 2 - 1 / 2 - 1 3 r 2 + 1 - 1 / 2 0 1 d θ   ∬ D     ∫   z r 2 + z 2 - 5 / 2 d V = l i m a → ∞   ∫ 0 2 π     1 3 1 2 + a 2 - 1 / 2 - 1 3 ( 2 ) - 1 / 2 - 1 3 a 2 - 1 / 2 + 1 3 d θ   ∭ D     z r 2 + z 2 - 5 / 2 d V = l i m a → ∞   2 π 1 3 1 + a 2 - 1 / 2 - 1 3 2 2 - 1 3 1 a + 1 3   ∬ D     ∫ D     r 2 + z 2 - 5 / 2 d V = 2 π 1 3 - 1 3 2 2

Resposta

Portanto, temos como resposta ∭ D   z r 2 + z 2 - 5 / 2 d V = 2 π 1 3 - 1 3 2 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva a equação em coordenadas cilíndricas.(a) 3 x + 2 y + z = 6 (b) - x 2 - y 2 + z 2 = 1
Esfera e cilindro Encontre o volume da região que está dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 2 e fora do cilindro x2 + y2 = 1.
Esfera e paraboloide Encontre o volume da região delimitada acima pela esfera x2 + y2 + z2 = 2 e abaixo pelo paraboloide z = x2 + y2.
Como as integrais triplas são definidas em coordenadas cilíndricas e esféricas? Por que alguém poderia preferir trabalharem um desses sistemas de coordenadas a trabalhar em coordenadas retangulares?