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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.7 - Ex. 5

Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por f t = 16 t + t 2 , 0 ≤ t ≤ 8 , onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros.

  1. Achar a velocidade média durante o intervalo de tempo b , b + h , 0 ≤ b < 8 .
  2. Achar a velocidade média durante os intervalos 3 ; 3,1 , 3 ; 3,01 e 3 ; 3,001 .
  3. Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer t .
  4. Achar a velocidade do corpo no instante t = 3 .
  5. Determinar a aceleração no instante t .

Passo 1

  1. Vamos achar a velocidade média durante o intervalo de tempo b , b + h , 0 ≤ b < 8 :

    2. v m = f b + h - f b h = 16 b + h + b + h 2 - 16 b + b 2     h =

    = 16 b + 16 h + b 2 + 2 b h + h 2 - 16 b - b 2   h = 16 h + b 2 + 2 b h + h 2 - b 2   h =

    = 16 h + 2 b h + h 2   h = 16 + 2 b + h

    Passo 2

  2. Vamos achar a velocidade média durante os intervalos 3 ; 3,1 , 3 ; 3,01 e 3 ; 3,001 substituindo os valores em v m :

    3. Para 3 ; 3,1 :

    v m = 16 + 2 ⋅ 3 + 3,1 - 3 = 16 + 6 + 0,1 = 22,1 m / s

    Para 3 ; 3 , 0 1 :

    v m = 16 + 2 ⋅ 3 + 3 , 0 1 - 3 = 16 + 6 + 0 , 0 1 = 22 , 0 1 m / s

    Para 3 ; 3 , 00 1 :

    v m = 16 + 2 ⋅ 3 + 3 , 00 1 - 3 = 16 + 6 + 0 , 00 1 = 22 , 00 1 m / s

    Passo 3

  3. Para achar a velocidade do corpo num instante qualquer t vamos derivar v m :

    4. v t = lim h → 0 ⁡ v m = lim h → 0 ⁡ 16 + 2 t + h = 16 + 2 t + 0 = 16 + 2 t

    Passo 4

  4. Aqui para achar a velocidade do corpo no instante t = 3 é só substituir esse valor em v t :

    5. v 3 = 16 + 2 ⋅ 3 = 16 + 6 = 22 m / s

    Passo 5

  5. E por último, para determinar a aceleração no instante t vamos derivar v t :

a t = lim ∆ t → 0 ⁡ v t + ∆ t - v t ∆ t = lim ∆ t → 0 ⁡ 16 + 2 t + ∆ t - 16 + 2 t ∆ t =

= lim ∆ t → 0 ⁡ 16 + 2 t + 2 ∆ t - 16 - 2 t ∆ t = lim ∆ t → 0 ⁡ 2 ∆ t ∆ t = lim ∆ t → 0 ⁡ 2 = 2 m / s 2

Resposta

  1. v m = 16 + 2 b + h em 0 ≤ b < 8
  2. v m = 22,1 m / s , v m = 22,01 m / s e v m = 22,001 m / s
  3. v t = 16 + 2 t
  4. v 3 = 22 m / s
  5. a t = 2 m / s 2
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