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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.7 - Ex. 1a

Determine a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.

f x = x 2 - 1 ;       x = 1 ,         x = 0 ,         x = a ,         a ∈ R

Passo 1

Vamos lá, temos que a equação da reta tangente é da forma:

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 são pontos da reta, e m é a inclinação da reta que é igual a derivada de f x no ponto que queremos.

Vamos achar a inclinação:

m = f ' x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f x 1 ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x 2 - 1   - x 2 - 1   ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ x 2 + 2 x ∆ x + ∆ x 2 - 1   - x 2 + 1   ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x ∆ x + ∆ x 2     ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x + ∆ x = 2 x + 0 = 2 x

Passo 2

Para x = 1 vamos ter:

m = f ' 1 = 2 ⋅ 1 = 2

E só nos falta achar f 1 :

f 1 = 1 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Vamos montar a equação:

y - y 0 = m x - x 0 → y - f 1 = f ' 1 x - 1 → y - 0 = 2 x - 1 → y = 2 x - 2

Passo 3

Agora para x = 0 vamos ter:

m = f ' 0 = 2 ⋅ 0 = 0

E só nos falta achar f 0 :

f 0 = 0 2 - 1 = - 1

Vamos montar a equação:

y - y 0 = m x - x 0 → y - f 0 = f ' 0 x - 0 → y - - 1 = 0 x - 0 → y = - 1

Passo 4

E por último, para x = a vamos ter:

m = f ' a = 2 ⋅ a = 2 a

E só nos falta achar f a :

f a = a 2 - 1

Vamos montar a equação:

y - y 0 = m x - x 0 → y - f a = f ' a x - a → y - a 2 - 1 = 2 a x - a →

y - a 2 + 1 = 2 a x - 2 a 2 → y = 2 a x - a 2 - 1

Passo 5

Aqui temos o gráfico da reta tangente para x = 1 :

Aqui para x = 0 :

Para x = a não podemos representar em um gráfico, pelo fato de a ser um valor genérico.

Resposta

y = 2 x - 2

y = - 1

y = 2 a x - a 2 - 1

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