Encontrar a massa total e o centro de massa de uma barra de comprimento 3 m, se a densidade linear da barra, num ponto situado a x m do extremo, é (5 * x^2 + 3) kg/m .

Passo 1

A densidade linear λ de um corpo, como a barra, é definida pela seguinte expressão:

λ = M L

Onde M é a massa do corpo e L seu comprimento. Também podemos escrever isso na forma de infinitésimos de massa, d m , e de comprimento, d x , assim:

λ = d m d x

Isolando d m , cujo valor integrado é o que nos interessa ( a massa), teremos:

d m = λ ∙ d x

Passo 2

Integrando ambos os lados da sentença anterior, tendo como limite de integração o intervalo de 0 a 3 m, temos:

M = ∫ 0 3 λ ∙ d x

No lugar de λ a gente coloca a função que ele representa: 5 x 2 + 3 , e integramos. Vamos ter:

M = ∫ 0 3 5 x 2 + 3 ∙ d x

M = 5 3 ∙ x 3 + 3 x 0 3

M = 5 3 ∙ 27 + 9

∴ M = 54   k g

Passo 3

O centro de massa, x - , é dado a partir da seguinte integral:

x - = 1 M ∙ ∫ x ∙ λ ∙ d x

Pro nosso caso, em que conhecendo a função que descreve λ , e o limite de integração, teremos:

x - = 1 M ∙ ∫ 0 3 x ∙ ( 5 x 2 + 3 ) ∙ d x

x - = 1 5 4 ∙ ( 5 4 x 4 + 3 2 ∙ x 2 ) 0 3

x - = 1 5 4 ∙ ( 5 4 3 3 + 3 2 ∙ 3 2 )

∴ x - ≅ 2,1   c m

Resposta

∴ M = 54   k g

∴ x - ≅ 2,1   c m

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