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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 64

Se 2 - x^2 <= g (x) <= 2 cos x para qualquer x , determine

underset(x -> 0)(lim) g ( x )

Passo 1

Nessas questões em que ele fala que a sua função está limitada por outras duas a boa é usar o teorema do confronto ou do sanduiche para os íntimos!

Passo 2

Legal, mas quais as funções dos extremos? Ele mesmo já deu f (x) = 2 - x^2 e h (x) = 2 cos x .

Então pelo teorema, vamos ter que

underset(x -> 0)(lim) f ( x ) <= underset(x -> 0)(lim) g (x) <= underset(x -> 0)(lim) h ( x )

underset(x -> 0)(lim) 2 - x^2 <= underset(x -> 0)(lim) f (x) <= underset(x -> 0)(lim) 2 cos x

Passo 3

Agora precisamos determinar o valor dos limites das pontas. Vamos começar com o da esquerda e lembre sempre que a primeira coisa a fazer com limites e substituir o valor do ponto:

underset(x -> 0)(lim) 2 - x^2 = 2 - (0)^2 = 2

Agora o da direita

underset(x -> 0)(lim) 2 cos x = 2 cos 0 = 2

Passo 4

Agora para uma coisa ser ao mesmo tempo maior ou igual a 2 e menor ou igual a 2 , ela tem que ser na verdade igual a 2 (essa é a lógica do teorema do confronto).

Logo,

underset(x -> 0)(lim) g (x) = 2

Resposta

2

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Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim x → 0 ⁡ ( x 2 cos ⁡ 20 π x = 0 Ilustre, fazendo os gráficos, na mesma tela, das funções f x = - x ² ², g x = x ² cos ⁡ 20 π x ² e h x = x ² ².
Use o teorema do confronto para determinar lim x → ∞ ⁡ s e n x x
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Se 4 x - 9 ≤ f x ≤ x 2 - 4 x + 7 para x ≥ 0 , encontre l i m x → 4f x .
Demonstre que underset(x - 0)(l i m) x^4 . cos (2)/(x) = 0 .