Se 2 - x^2 <= g (x) <= 2 cos x para qualquer x , determine

underset(x -> 0)(lim) g ( x )

Passo 1

Nessas questões em que ele fala que a sua função está limitada por outras duas a boa é usar o teorema do confronto ou do sanduiche para os íntimos!

Passo 2

Legal, mas quais as funções dos extremos? Ele mesmo já deu f (x) = 2 - x^2 e h (x) = 2 cos x .

Então pelo teorema, vamos ter que

underset(x -> 0)(lim) f ( x ) <= underset(x -> 0)(lim) g (x) <= underset(x -> 0)(lim) h ( x )

underset(x -> 0)(lim) 2 - x^2 <= underset(x -> 0)(lim) f (x) <= underset(x -> 0)(lim) 2 cos x

Passo 3

Agora precisamos determinar o valor dos limites das pontas. Vamos começar com o da esquerda e lembre sempre que a primeira coisa a fazer com limites e substituir o valor do ponto:

underset(x -> 0)(lim) 2 - x^2 = 2 - (0)^2 = 2

Agora o da direita

underset(x -> 0)(lim) 2 cos x = 2 cos 0 = 2

Passo 4

Agora para uma coisa ser ao mesmo tempo maior ou igual a 2 e menor ou igual a 2 , ela tem que ser na verdade igual a 2 (essa é a lógica do teorema do confronto).

Logo,

underset(x -> 0)(lim) g (x) = 2

Resposta

2

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