Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 67
Encontre se, para todo
Passo 1
Olá, meu amigo.
Bom, essa questão pede para gente calcular para todo , sabendo que
Repara que aqui não sabemos que é , só sabemos que ela é uma função que esta entre duas funções conhecidas.
Então se liga nessa dica aqui:
Para encontrar o limite da função sabendo apenas que ela está entre as duas funções dadas podemos utilizar o teorema do confronto.
Ele é perfeito para situações do tipo.
O teorema do confronto diz que:
Sejam , e funções reais definida no domínio e seja um ponto dentro desse domínio, se:
E
Então
Isso porque, se aplicarmos os limites
Ou seja, se as funções que estão envolvendo a função tendem para o mesmo valor , então a também tenderá para , pois ela não terá escapatória rsrsr.
Partiu ver isso acontecendo.
Passo 2
Como o enunciado disse que
Vamos pensar que:
E calcularemos o limite em cada lado da inequação, primeiro:
Dividindo todo mundo por
E calculando o limite, encontraremos:
Passo 3
Agora, calcularemos o limite do outro lado da inequação:
E aplicando o limite, teremos:
Passo 4
Como,
Então, pelo teorema do confronto,