Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x1 10 e x - 21 2 e xf x5 x x - 1

Enunciado

Olá, meu amigo.

Bom, essa questão pede para gente calcular para todo , sabendo que

Repara que aqui não sabemos que é , só sabemos que ela é uma função que esta entre duas funções conhecidas.

Então se liga nessa dica aqui:

Para encontrar o limite da função sabendo apenas que ela está entre as duas funções dadas podemos utilizar o teorema do confronto.

Ele é perfeito para situações do tipo.

O teorema do confronto diz que:

Sejam , e funções reais definida no domínio e seja um ponto dentro desse domínio, se:

Então

Isso porque, se aplicarmos os limites

Ou seja, se as funções que estão envolvendo a função tendem para o mesmo valor , então a também tenderá para , pois ela não terá escapatória rsrsr.

Partiu ver isso acontecendo.

Como o enunciado disse que

Vamos pensar que:

E calcularemos o limite em cada lado da inequação, primeiro:

Dividindo todo mundo por

E calculando o limite, encontraremos:

Agora, calcularemos o limite do outro lado da inequação:

E aplicando o limite, teremos:

Como,

Então, pelo teorema do confronto,