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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 3

Uma cultura de bactérias inicialmente contém 100 células e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de uma hora a população cresceu para 420 .

(a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois de t horas.

(b) Encontre o número de bacterias após 3 horas.

(c) Encontre a taxa de crescimento depois 3 horas.

(d) Quando a população atingirá 10000 células?

Passo 1

E aí, vamos entender o que esse enunciado quer da gente!

Temos uma cultura de bactérias que cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho, inicialmente ela tem 100 células e depois de uma hora ela passa a ter 420 . Sabendo disso, a primeira coisa que devemos fazer é encontrar uma fórmula que relacione o número de bactérias P com o tempo t !

Vamos pensar, se a taxa de crescimento, P ' ( t ) é proporcional a P t ,   então existe uma constante de proporcionalidade k que relaciona ambas. Nesse caso k é exatamente a taxa de crescimento relativa que é a taxa de crescimento dividida pela população:

k = P ' t P t

Ou também pode ser escrita como:

d P d t = k P

Passo 2

Agora precisamos identificar as variáveis do problema:

k = ?  

y t = P t

Como o valor inicial da população é de 100 bactérias:

y 0 = P 0 = 100

Temos que:

d P d t = k P

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo d y d t = k y devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:

y t = y 0 e k t

Então:

P x = P 0 e k t

Sabemos que após uma hora a população era de 420 bactérias:

P 1 = P 0 e k 1

420 = 100 e k

e k = 4,2

Aplicando o logaritmo natutal temos:

ln ⁡ e k = ln ⁡ 4,2

k ln ⁡ e = ln ⁡ 4,2  

Como ln ⁡ e = 1 :

k = ln ⁡ 4,2

Logo, taxa de crescimento relativa corresponde a ln ⁡ 4,2 .

Passo 3

Para encontrar a expressão para o número de celulas depois de t horas, basta apenas aplicar os dados obtidos na equação exponencial:

P t = P 0 e k t

P t = 100 e ln ⁡ 4,2 t

Como e ln ⁡ a = a , e x a b = x a b , então:

P t = 100 e ln ⁡ 4,2 t = 100 ( 4,2 t )

Logo, a função que representa a população de bactérias é: P t = 100 × 4,2 t .

Passo 4

Para a letra (b) devemos encontrar o número de bactérias depois de 3   horas. Para isso só precisamos calcular P ( 3 ) com a expressão que achamos acima!

P t = 100 × 4,2 t

P 3 = 100 × 4,2 3

P 3 = 7408,8 .

Passo 5

Agora a letra (c), para encontrar a taxa de crescimento depois de 3 horas precisamos derivar a função obtida e resolver para t = 3 :

P t = 100 × 4,2 t

P ' t = 100 × 4,2 t ln ⁡ 4,2

P ' 3 = 100 × 4,2 3 ln ⁡ 4,2

P ' 3 = 10632,2

Passo 6

Agora, quando a população atingirá 10000 células?

P t = 10000

P t =   100 × 4,2 t = 10000

4,2 t = 100

Colocando os dois lados como logaritmo:

l n ⁡ ( 4,2 t ) = ln ⁡ 100

t × ln ⁡ 4,2 = ln ⁡ 100

t = ln ⁡ 100 ln ⁡ 4,2

t = 3,21   h

Prontinho!

Resposta

(a) P t = P t = 100 × 4,2 t .

(b) P 3 = 7408,8   b a c t é r i a s .

(c) P ' 3 = 10632,2 bactérias por hora.

(d) t = 3,21   h

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