Enunciado

Encontrar a equação da reta normal à curva y = 3 x 2 - 4 x 2 no ponto de abscissa x = 2 .

Passo 1

Para encontrar a equação da reta normal à curva no ponto ( a   , b ) , lembramos que ela é perpendicular à reta tangente nesse ponto. Logo, o coeficiente angular da normal é o oposto do inverso do coeficiente angular da reta tangente. Podemos calcular o coeficiente angular de uma reta tangente usando a definição da derivada de uma função, em que o coeficiente da reta tangente é a derivada da função no ponto desejado. Ou seja:

c o e f i c i e n t e   a n g u l a   d a   r e t a   t a n g e n t e = f ' a

Logo o coeficiente da reta normal será:

c o e f i c i e n t e   a n g u l a   d a   r e t a   n o r m a l = - 1 f   ' a  

Onde a representa o ponto desejado, nesse caso especifico a = 2 .

Passo 2

Temos que calcular então a derivada da curva y x . Para calcular a derivada de y ( x ) podemos usar a regra da cadeia. Assim temos:

y = 3 x 2 - 4 x 2

y ' x = 2 × 3 x 2 - 4 x 2 - 1 × 2 × 3 x 2 - 1 + 1 × - 4 x 1 - 1

y ' x = 2 × 3 x 2 - 4 x 2 - 1 × 2 × 3 x 2 - 1 + 1 × - 4 x 1 - 1

y ' x = 2 3 x 2 - 4 x 1 × 6 x 1 - 4 x 0

y ' x = 6 x 2 - 8 x × 6 x - 4

y ' x = 36 x 3 - 48 x 2 - 24 x 2 + 32 x

y ' x = 36 x 3 - 72 x 2 + 32 x

A derivada de y x é y ' x = 36 x 3 - 72 x 2 + 32 x

Passo 3

Para encontra o coeficiente angular da reta, é só calcularmos y ' 2 . Assim temos:

y ' 2 = 36 × 2 3 - 72 × 2 2 + 32 × 2

y ' 2 = 36 × 2 3 - 72 × 2 2 + 32 × 2

y ' 2 = 288 - 288 + 64

y ' 2 = 64

O coeficiente da angular a reta tangente é 64 .

O coeficiente da reta normal será   - 1 y   ' 2 ou seja: - 1 64 .

Passo 4

Para encontrarmos a equação de uma reta, precisamos do coeficiente angular e um ponto que onde passa a reta. Podemos encontrar esse ponto calculando y 2 .

y 2 = 3 2 2 - 4 2 2

y 2 = 3 2 2 - 4 2 2

y 2 = 16

Um ponto por onde a reta tangente passa é 2   ,     16 .

Passo 5

Toda reta pode ser escrita da seguinte forma:

y = m x + c

Onde m é o coeficiente angular e c é o coeficiente linear. Temos que o m = - 1 64 e temos que a reta passa pelo ponto 2   ,     16 , assim podemos substituir na equação da reta e encontrar c .

16 = - 1 64 2 + c

16 = - 1 32 + c

c = 16 + 1 32

c = 512 + 1 32

c = 513 32

O coeficiente linear da reta é c = 513 32 , assim a equação da reta é:

y = - 1 64 x + 513 32

Resposta

y = - 1 64 x + 513 32

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Use o método de Newton com o valor inicial especificado x 1 para encontrar x 3 , a terceira aproximação da raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais.) 5 . x 3 + 2 x - 4 = 0 ,x 1
Use o método de Newton com o valor inicial especificado x 1 para encontrar x 3 , a terceira aproximação da raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais.) 6 .1 3 x 3 + 1 2 x 2 + 3 =
Derive a função. y = 5 e x + 3
Derive a função. h x = ( x - 2 ) ( 2 x + 3 )
Derive a função. R t = 5 t - 3 / 5