Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.12 - Ex. 27
Encontrar a equação da reta normal à curva no ponto de abscissa .
Passo 1
Para encontrar a equação da reta normal à curva no ponto , lembramos que ela é perpendicular à reta tangente nesse ponto. Logo, o coeficiente angular da normal é o oposto do inverso do coeficiente angular da reta tangente. Podemos calcular o coeficiente angular de uma reta tangente usando a definição da derivada de uma função, em que o coeficiente da reta tangente é a derivada da função no ponto desejado. Ou seja:
Logo o coeficiente da reta normal será:
Onde representa o ponto desejado, nesse caso especifico .
Passo 2
Temos que calcular então a derivada da curva . Para calcular a derivada de podemos usar a regra da cadeia. Assim temos:
A derivada de é
Passo 3
Para encontra o coeficiente angular da reta, é só calcularmos . Assim temos:
O coeficiente da angular a reta tangente é .
O coeficiente da reta normal será ou seja: .
Passo 4
Para encontrarmos a equação de uma reta, precisamos do coeficiente angular e um ponto que onde passa a reta. Podemos encontrar esse ponto calculando .
Um ponto por onde a reta tangente passa é .
Passo 5
Toda reta pode ser escrita da seguinte forma:
Onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Temos que o e temos que a reta passa pelo ponto , assim podemos substituir na equação da reta e encontrar .
O coeficiente linear da reta é , assim a equação da reta é: