1. Primeiro vamos tomar , mostrando que o ponto está em nossa curva, ou seja, ela passa pela origem.

Agora vamos fazer a seguinte analise. Se essa curva passa pelo ponto , ela passa para um dado , ou seja

E

enquanto deve existir um , tal que

E

Concordamos que em ambos os casos, teremos que

Isso sugere que, se fizemos uma transformação de , podemos inverter os ponto de ? Vamos ver

Isso implica que a curva é simétrica em e que todos os ponto contidos nesta curva possuem seu simétrico .

Passo 3

2. Estamos interessados aqui nos pontos que possuem retas tangentes horizontais.

Olhando para o gráfico abaixo, podemos ter uma noção visual de onde estão esses pontos, entretanto iremos usar a técnica de acha-los pelo método algébrico e não geométrico apenas.



Para isso vamos simplesmente calcular a derivada de e igualá-la a zero.

Assim determinamos os pontos que que e , nos dando os pontos e .

Como mostrado no item anterior a simetria de nossa curva, podemos então concluir que os pontos que possuem retas tangentes verticais serão e .

Para conferir esse resultado, basta fazer a derivada de em função de e igualar a zero.

Passo 4

3. Primeira observação que devemos fazer é: observe que quando , temos que e . Temos também que, quando , temos e .

Agora vamos analisar nossa função

Onde

Logo a equação é uma assíntota oblíqua.

Passo 5

4. Lembrando de nossas aulas de cálculo 1, devemos lembrar que, para esboçar uma curva, devemos calcular suas derivadas primeiras e segundas e analisá-las com cuidado.

Vamos primeiro calcular

e

Os pontos de mínimos e máximos são dados quando a derivada primeira vale zero, logo temos os pontos e que já aviamos calculados anteriormente.

Outra coisa é entender suas concavidades, que entre possui sua concavidade para cima e quando tem sua concavidade para baixo. Basta tomarmos quando a segunda derivada é positiva e quando ela é negativa respectivamente.



Passo 6

5. Neste item vamos partir de uma suposição e tentar chegar em uma verdade.

Tome a equação sugerida , então fazemos

Podemos reescrever da seguinte forma:

Substituindo as equações paramétricas:

Desta forma mostramos que a equação cartesiana desta curva é

Passo 7

6. Vamos tomar a equação cartesiana acima e fazer a seguinte substituição e .

Assim teremos:

Para teremos

Uma manipulação matemática as vezes meio chata, mas aí está!! 😉

Passo 8

7. O laço do fólio de Descarte se encontra presente apenas no primeiro quadrante, desta forma temos que .

Assim teremos

Vamos tomar assim conseguimos resumir nossa integral em

Passo 9

8. E finalmente a última alternativa, que óbvio não seria algo simples hahaha.

Vamos olhar para a área que delimitada pela curva e pela assíntota.

Reparamos que o que a compões são o segundo, terceiro e quarto quadrante, na qual a área do segundo e do quarto são iguais.

Observe também que a área do terceiro quadrante é .

Fica agora apenas para a gente calcular a área do segundo quadrante.

Tome a equação da assíntota e vamos tomar a parametrização utilizada no passo 7.

Com isso temos

Desta forma basta fazermos

Aqui usamos um sistema de computação algébrica, chegando em

Assim teremos que a área total é dado por

Que é exatamente a área do laço.

Ps: O autor dessa resolução quase morreu durante seu trabalho haha