Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 43

A curva com equações paramétricas

x = ( 1 + 2 s e n   θ ) c o s θ ,   y = ( 1 + 2 s e n   θ ) s e n θ

Encontre os pontos (x, y) e os coeficientes angulares das retas tangentes a esses pontos para:

a. θ = 0

b. θ = π / 2

c. θ = 4 π / 3

Passo 1

Fala, galera! Nessa questão a gente tem que encontrar os pontos (x, y) e os coeficientes angulares das retas tangentes para vários valores do ângulo. Para isso, temos que substituir o ângulo nas equações para x e y . Com isso, encontramos os pontos. Depois, calculamos o coeficiente angular através da fórmula

y ' = d y d x = d y / d θ d x / d θ

Vamos lá! Primeiro, vamos calcular as derivadas

d x d θ = d d θ ( 1 + 2 s e n   θ ) c o s θ = - s e n   θ + 2 c o s 2 θ - 2 s e n 2 θ

d y d θ = d d θ ( 1 + 2 s e n   θ ) s e n θ = c o s θ + 4 c o s θ   s e n   θ

Assim,

y ' = d y / d θ d x / d θ = c o s   θ   +   4 c o s   θ   s e n   θ - s e n   θ   +   2 c o s 2 θ   -   2   s e n 2 θ

Passo 2

Agora, vamos resolver item por item. Primeiro encontramos as coordenadas do ponto, depois o coeficiente angular nesse ponto.

a. Em θ = 0 , temos o ponto

x = ( 1 + 2 s e n   0 ) c o s 0 = 1

  y = ( 1 + 2 s e n   0 ) s e n 0 = 0

e o coeficiente angular é

y ' = c o s   0   +   4 c o s   0   s e n   0 - s e n   0 + 2 c o s 2 0   -   2 s e n 2 0 = 1 2

Passo 3

b. Em θ = π / 2 , estamos no ponto

x = ( 1 + 2 s e n   ( π / 2 ) ) c o s   ( π / 2 ) = 0

  y = ( 1 + 2 s e n   ( π / 2 ) )   s e n ( π / 2 ) = 3

com coeficiente angular

y ' = c o s   ( π / 2 )   +   4 c o s   ( π / 2 )   s e n   ( π / 2 ) -   s e n   ( π / 2 )   +   2 c o s 2 ( π / 2 )   -   2 s e n 2 ( π / 2 ) = 0

Passo 4

c. Só falta agora o último item. Quando θ = 4 π / 3 , temos o ponto

x = ( 1 + 2 s e n   ( 4 π / 3 ) ) c o s   ( 4 π / 3 ) = 1 + 2   - 3 2 - 1 2 = 3   -   1 2

  y = ( 1 + 2   ( - 3 2 ) )   s e n ( - 3 2 ) = 3 3   -   1 2 = 3   -   3 2

e o coeficiente angular

y ' = c o s   ( 4 π / 3 )   +   4 c o s   ( 4 π / 3 )   s e n   ( 4 π / 3 ) -   s e n   ( 4 π / 3 )   +   2 c o s 2 ( 4 π / 3 )   -   2   s e n 2 ( 4 π / 3 ) = -   1 2   +   4 -   1 2 ⋅ -   3 2 - -   3 2   +   2 -   1 2 2 -   2 -   3 2 2

y ' = -   1 2   +   3 3 2   +   1 2   -   3 2 = -   1 2   +   3 3 2   -   1 = -   1   +   2 3 3   -   2

Resposta

a. ( 1.0 ) ,   y ' = 1 / 2

b. ( 0.3 ) ,   y ' = 0

c. ( 3 - 1 2 . 3 - 3 2 ) ,   y ' = -   1   + 2 3 3   - 2

Exercícios de Livros Relacionados

17- a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica r = 1 4 - 3 cos ⁡ θ e plote a cônica e sua diretriz.b) Se a cônica girar no sentido anti-horário ao redor da origem por um ângulo π / 3 , escrev
16- a) Encontre a excentricidade, b) identifique a cônica, c) dê uma equação da diretriz e d) esboce a cônica. r = 4 2 + cos ⁡ θ
25- a) Mostre que a equação polar de uma elipse com diretriz x = - d pode ser escrita na forma: r = a ( 1 - e 2 ) 1 - e cos ⁡ θ b) Encontre uma equação polar aproximada para a ��rbita elíptica da Terr
27- A órbita do cometa de Halley, visto pela última vez em 1986 e com retorno esperado para 2062, é uma elipse com excentricidade 0.97 e com um foco no Sol. O comprimento do eixo principal é 36.18A U
Os planetas se movem ao redor do Sol em órbitas elípticas com o Sol em um dos focos. As posições de um planeta que estão mais próximas ou mais afastadas do Sol são chamadas respectivamente periélio e