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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 10

Curva tangente a uma superfície Mostre que a curva

r ( t ) = t 3 4 - 2 i + 4 t - 3 j + c o s ⁡ ( t - 2 ) k

é tangente à superfície

  x 3 + y 3 + z 3 - x y z = 0

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos continuar com os exercícios adicionais avançados? Esta questão é a última que trata de gradientes e tangentes.

Nosso objetivo é mostrar que a curva r ( t ) = t 3 4 - 2 i + 4 t - 3 j + ( c o s ⁡ ( t - 2 ) ) k é tangente à superficie x 3 + y 3 + z 3 - x y z = 0 no ponto ( 0 , - 1,1 ) .Vamos aos cálculos? Acompanhe com atenção!

Passo 2

Seja a equação da superficie f ( x , y , z ) = x 3 + y 3 + z 3 - x y z Temos então que o gradiente da função vale:

∇ f = 3 x 2 - y z i + 3 y 2 - x z j + 3 z 2 - x y k

Aplicando o ponto ( 0 , - 1,1 ) teremos:

∇ f ( 0 , - 1,1 ) = i + 3 j + 3 k

plano tangente é então:

x + 3 y + 3 z = 0

Para a curva r = t 3 4 - 2 i + 4 t - 3 j + ( c o s ⁡ ( t - 2 ) ) k temos que a derivada é:

r ' = 3 t 2 4 i - 4 t 2 j - ( s e n ⁡ ( t - 2 ) ) k

Quando x = 0 , y = - 1 , z = 1 temos:

t = 2

Aplicando o ponto na derivada da função r temos:

r ' ( 2 ) = 3 i - j

Como r ' ( 2 ) ⋅ ∇ f = 0 r é paralelo ao plano, e r ( 2 ) = - i + k está contido nesse plano.

Resposta

Resposta nos passos.

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