Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.Revisão - Ex. 43
Determine o gradiente da função .
Passo 1
Oie, meu mano, vou te ajudar a resolver essa atividade.
Aqui a gente precisa encontrar o gradiente da função:
Sabemos que o gradiente de uma função qualquer é:
Para calcular essas derivadas parciais a gente precisa derivar em relação a variável que a gente quer e considerar todas as outras variáveis como constantes.
Agora precisamos aplicar isso para a nossa função, borá lá?
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais. Primeiro em :
Agora em :
Veja que precisamos aplicar a regra da cadeia aqui:
Realizando as derivações:
Temos então:
E por fim em :
Também devemos aplicar a regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Simplificando:
Passo 3
Agora é só juntar todos esses resultados e aplicar na expressão do passo :
Resposta
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Determine z = phi_1 (x , y) , y0 , tal que phi_1 (1,1) = (pi)/(4) e para todo y0 : grad phi_1 (x , y) = (- (y)/(x^2 + y^2) , (x)/(x^2 + y^2))
Sejam f x , y = x 3 +y 3 -x 2 +4 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de (1, 1). A) Utilizando P 1 ( x ,y ) , calcule um valor aproximado para f ( x ,y ) , sendo x = 1,001e
Sejam f x , y = x 3 +y 3 -x 2 +4 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de (1, 1). Mostre que para todo (x, y) com |x – 1| f x ,y -P 1 x ,y7 x - 1 2 +6 y - 1 2
Seja f x , y = x y e seja γ t = x t , y t , t ∈ I , uma curva diferenciável cuja imagem está contida na curva de nível f x , y = 2 . Mostre que para todo t em I , γ ' t ∙ ∇ f γ t = 0 . Dê exemplo de u
Seja f x , y = x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 .Dê exemplo de uma curva γ t , diferenciável, cuja imagem esteja contida na superfície de nível x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 1 .Verifique que ∇ f γ t ∙ γ ' t = 0 . Interpre