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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.Revisão - Ex. 43

Determine o gradiente da função f   x ,   y ,   z = x 2 e y z 2 .

Passo 1

Oie, meu mano, vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui a gente precisa encontrar o gradiente da função:

f   x ,   y ,   z = x 2 e y z 2

Sabemos que o gradiente de uma função qualquer f ( a , b ) é:

∇ f → a , b , c = ∂ f ∂ a i ^ + ∂ f ∂ b j ^ + ∂ f ∂ c k ^

Para calcular essas derivadas parciais a gente precisa derivar em relação a variável que a gente quer e considerar todas as outras variáveis como constantes.

Agora precisamos aplicar isso para a nossa função, borá lá?

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais. Primeiro em x :

f   x ,   y ,   z = x 2 e y z 2

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 e y z 2

∂ f ∂ x = 2 x e y z 2

Agora em y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 2 e y z 2

Veja que precisamos aplicar a regra da cadeia aqui:

∂ f ∂ y = x 2 ⋅ y z 2 ' ⋅ e g y '

Realizando as derivações:

∂ f ∂ y = x 2 e y z 2 ⋅ z 2

Temos então:

∂ f ∂ y = x z 2 e y z 2

E por fim em z :

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x 2 e y z 2

Também devemos aplicar a regra da cadeia:

∂ f ∂ z = x 2 ⋅ y z 2 ' ⋅ e g z '

Derivando em relação a z :

∂ f ∂ z = x 2 e y z 2 ⋅ 2 y z

Simplificando:

∂ f ∂ z = 2 x 2 y z e y z 2

Passo 3

Agora é só juntar todos esses resultados e aplicar na expressão do passo 1 :

∇ f = 2 x e y z 2 i ^ + x z 2 e y z 2 j ^ + 2 x 2 y z e y z 2 k ^

Resposta

∇ f → = 2 x e y z 2 i ^ + x z 2 e y z 2 j ^ + 2 x 2 y z e y z 2 k ^

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