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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 6

Superfície em coordenadas polares Seja

f ( r , θ ) = s e n ⁡ 6 r 6 r , r ≠ 0 1 , r = 0

onde r e θ são coordenadas polares. Encontrea. l i m r → 0   f ( r , θ ) b. f r ( 0,0 ) c. f θ ( r , θ ) , r ≠ 0 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Nesta questão temos como tópico superficie em coordenadas polares. Considere:

f ( r , θ ) = s e n ⁡ ( 6 r ) 6 r , r ≠ 0 1 ,   r = 0

Onde ( r , θ ) são coordenadas polares. Nosso objetivo aqui é encontrarmos os seguintes itens:(a) l i m r → 0   f ( r , θ ) ;(b) f r ( r , θ ) (c) f θ ( r , θ ) , r ≠ θ Vamos aos cálculos? Acompanhe com atenção!

Passo 2

limite valerá: l i m r → 0   s e n ⁡ 6 r 6 r = l i m t → 0   s e n ⁡ t t = 1 , para t = 6 r Para este item você deve aplicar a regra L'Hôpital duas vezes.

f r ( 0,0 ) = l i m h → 0   f ( 0 + h , 0 ) - f ( 0,0 ) h f r ( 0,0 ) = l i m h → 0   s e n ⁡ 6 h 6 h - 1 h f r ( 0,0 ) = l i m h → 0   s e n ⁡ 6 h - 6 h 6 h 2 f r ( 0,0 ) = l i m h → 0   6 c o s ⁡ 6 h - 6 12 h f r ( 0,0 ) = l i m h → 0   - 36 s e n ⁡ 6 h 12 f r ( 0,0 ) = 0

Passo 3

f θ ( r , θ ) = l i m h → 0   f ( r , θ + h ) - f ( r , θ ) h f θ ( r , θ ) = l i m h → 0   s e n ⁡ 6 r 6 r - s e n ⁡ 6 r 6 r h f θ ( r , θ ) = l i m h → 0   0 h f θ ( r , θ ) = 0

Resposta

Resposta nos passos.

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