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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 54f

Determinar o vetor gradiente das seguintes funções :

f x , y , z = x y z 2 + s e n x

Passo 1

O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função em um determinado ponto, denotamos o vetor gradiente da seguinte maneira

∇ f x 0 , . . x n = ∂ f ∂ x 0 , … , ∂ f ∂ x n

Este vetor tem como propriedade de suma importância ser perpendicular as curvas e superfícies de nível, portanto é extremamente importante sabermos sua representação e o que ele significa.

Passo 2

Visto isso, vamos aprender como calculá-lo

Precisamos calcular inicialmente as derivadas parciais em cada coordenada, logo segue que

∂ f ∂ x x , y , z = 2 x y z 2 + c o s x

∂ f ∂ x x , y , z = 2 y x z 2

∂ f ∂ x x , y , z = 2 z x y 2

Passo 3

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x x , y , z , ∂ f ∂ y x , y , z , ∂ f ∂ z x , y , z = 2 x y z 2 + c o s x , 2 y x z 2 , 2 z x y 2

Resposta

∇ f x , y , z = 2 x y z 2 + c o s x , 2 y x z 2 , 2 z x y 2

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Determine o gradiente da função fx ,y ,z = x 2 e y z 2 .
Considere a função f x , y , z = x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 e seja γ t = x t ,y t ,z t uma curva diferenciável qualquer, com imagem contida na superfície de nível x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 1 , e tal que γ t 0 =
21-26. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.26. f p ,q ,r = a r c tan ⁡ p q r ,1 ,2 ,1
14.47. Se f x , y = x 2 + 4 y 2 , determine o vetor gradiente ∇ f 2,1 e use-o para determinar a reta tangente à curva de nível da função f x , y = 8 no ponto 2,1 . Esboce as curvas de nível, reta tang