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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 12

Máximo no primeiro quadrante fechado Encontre o valor

máximo de ƒ(x, y) = 6xye–(2x+3y) no primeiro quadrante fechado (incluindo os eixos não negativos).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Este exercício traz o tópico valores extremos máximo no primeiro quadrante fechado. Devemos encontrar o valor máximo de f ( x , y ) = 6 x y e - ( 2 x + 3 y ) no primeiro quadrante fechado incluindo os eixos não negativos.Acompanhe com atenção!

Passo 2

Para f ( x , y ) = 6 x y e - ( 2 x + 3 y ) as derivadas parciais valem:

f x ( x , y ) = 6 y ( 1 - 2 x ) e - ( 2 x + 3 y ) = 0 f y ( x , y ) = 6 x ( 1 - 3 y ) e - ( 2 x + 3 y ) = 0

Resolvendo o sistema vemos que:

x = 0  e  y = 0  ou  x = 1 2  e  y = 1 3

Temos agora que: f ( 0,0 ) = 0 se encontra na fronteira, e f 1 2 , 1 3 = 1 e 2 .No eixo y positivo:

f ( 0 , y ) = 0

E no eixo x positivo:

f ( x , 0 ) = 0

Como x → ∞ e y → ∞ então f ( x , y ) → 0 . Assim, o máximo absoluto de f no primeiro quadrante fechado é 1 e 2 e acontece no ponto 1 2 , 1 3 .

Resposta

Resposta nos passos.

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