Determinar o plano que contém os pontos (1,1, 0) e (2,1, 4) que seja tangente ao gráfico de f(x, y) = x^2 + y^2

Passo 1

Nos foi dado 2 pontos que pertencem a esse plano, logo podemos calcular seu vetor normal.

i j k 1 1 0 2 1 4 = 4 i + k - 2 k - 4 j = ( 4 , - 4 , - 1 )

Passo 2

Seja

F x , y , z = x 2 + y 2 - z  

Vamos calcular seu vetor gradiente,pois este também é normal a superfície de nível

∂ F ∂ x = 2 x 0   ;     ∂ F ∂ y = 2 y 0   ;   ∂ F ∂ z = - 1

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = 2 x 0 , 2 y 0 , 1

Como ambos os vetores são múltiplos entre si, temos que:

4 , - 4 , - 1 = k 2 x 0 , 2 y 0 , - 1   ⟹ k = 1 , x 0 = 2 ,   y 0 = - 2 ⟹ z 0 = 8

Passo 3

A equação do plano é:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n = 0

Substituindo os valores

x - 2 , y + 2 , z - 8 ⋅ ( 4 , - 4 , - 1 ) = 0

z =   4 x - 4 y - 8

Resposta

z =   4 x - 4 y - 8

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