Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então:

∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n

Passo 1

Salve, turma! Beleza?

A sequência a n pode ser uma sequência alternada, ou seja, uma sequência que vai atingir tanto valores negativos quanto positivos, então seu valor certamente será um número entre:

- a n ≤ a n ≤ a n

Essa igualdade é válida também se fizermos as somatórias dessas sequências de n = 1 até .

∑ n = 1 ∞ - a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ | a n |

Passo 2

Dessa forma se aplicarmos o módulo em todo mundo temos:

∑ n = 1 ∞ - a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n

Porém, para ∑ n = 1 ∞ a n , colocar o módulo para o lado de fora não muda nada, já que seus termos já serão todos positivos, então podemos eliminar esse módulo:

∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ a n

Já que não tem sinal para trocar, então pelas desigualdades a direita temos:

∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n

Resposta

Desigualdade demonstrada no passo a passo.

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