A curvatura no ponto P da curva é definida como

k = | dϕ / ds |

Onde phi é o ângulo de inclinação da reta tangente em P, como mostrado na figura. Então, a curvatura é o valor absoluto da taxa de variação de phi em relação ao comprimento de arco. Esta pode ser considerada uma medida da taxa da variação de direção da curva em P e vai ser estudada em mais detalhes no Capítulo 13.

  1. Para a curva parametrizada x = x(t), y = y(t) deduza a fórmula
  2. k = |x˙y¨ - x¨y˙| / (|x˙|^2 + |y˙|^2)^(3/2)

    Onde os pontos indicam as derivadas em relação a t assim x˙ = dx/dt . [Sugestão: Use ϕ = t * g^(-1) * (dy/dx) e a Equação 2 para encontrar dϕ/dt . Então, use a Regra da Cadeira para achar dϕ / ds ]

  3. Considerando uma curva y = f(x) como a curva parametrizada x = x, y = f(x) com o parâmetro x , mostre que a fórmula na parte (a) se torna

k = ( (d^2 y) / (d x^2) ) / [ 1 + ( (d y) / (d x) )^2 ]^(3/2)

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos dá o seguinte gráfico:

E diz que a curvatura k no ponto P é dada por:

k = d ϕ d s

Onde ϕ é o ângulo de inclinação da reta tangente em P , como mostrado na figura. Então, a curvatura é o valor absoluto da taxa de variação de ϕ em relação ao comprimento de arco.

Na letra (a) queremos deduzir a seguinte fórmula para uma curva parametrizada x t ,   y t :

k = x ˙ y ¨ - x ¨ y ˙ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 2

Onde os pontos indicam as derivadas em relação a t , assim x ˙ = d x / d t .

Para isso, temos que usar ϕ = t g - 1 d y d x e a Regra da Cadeira para achar d ϕ d s .

Em seguida, na letra (b), devemos demonstrar a seguinte fórmula:

k = d 2 y d x 2 1 + d y d x 2 3 2

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

(a) Sabemos que a curvatura no ponto P é definida como   k = d ϕ d s

Vamos usar ϕ = tan - 1 ⁡ d y d x , derivando essa equação toda com relação a t , ficamos com:

d ϕ d t = d d t tan - 1 ⁡ d y d x

d ϕ d t = 1 1 + d y d x 2 d d t d y d x

Mas sabemos da fórmula 2 que se d x d t ≠ 0 , então

d y d x = d y d t d x d t = y ˙ x ˙

Assim, aplicando, temos:

d d t d y d x = d d t y ˙ x ˙ = y ¨ x ˙ - x ¨ y ˙ x ˙ 2

Agora podemos substituir isso na nossa equação de d ϕ / d t :

d ϕ d t = 1 1 + y ˙ x ˙ 2 y ¨ x ˙ - x ¨ y ˙ x ˙ 2

d ϕ d t = y ¨ x ˙ - x ¨ y ˙ y ˙ 2 + x ˙ 2

Usando a regra da cadeia e o fato de que S = ∫ 0 t   d x d t 2 + d y d t 2 d t , temos que

d S d t = d x d t 2 + d y d t 2

d S d t = x ˙ 2 + y ˙ 2

Similarmente a fórmula 2, podemos dizer que d ϕ d s = d ϕ d t d s d t , então

d ϕ d s = y ¨ x ˙ - x ¨ y ˙ y ˙ 2 + x ˙ 2 1 x ˙ 2 + y ˙ 2 1 2  

d ϕ d s = y ¨ x ˙ - x ¨ y ˙ ( y ˙ 2 + x ˙ 2 ) 3 2    

Então, se tivermos k = d ϕ d s , ficamos com:

k = y ¨ x ˙ - x ¨ y ˙ ( y ˙ 2 + x ˙ 2 ) 3 2     = | y ¨ x ˙ - x ¨ y | ˙ ( y ˙ 2 + x ˙ 2 ) 3 2    

Passo 3

(b) Bom, temos que x = x e y = f x

Então:

x ˙ = 1 ,   x ¨ = 0

e

y ˙ = d y d x ,     y ¨ = d 2 y d x 2

Agora podemos substituir isso na nossa fórmula do item (a):

k = 1   .   d 2 y d x 2 - 0   .   d y d x 1 + d y d x 2 3 2

k = d 2 y d x 2 1 + d y d x 2 3 2

Resposta

Demonstração

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