Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.12 - Ex. 9
O gráfico da função , , sendo , e constantes positivas, é denominado curva de custos a curto prazo de Cobb-Douglas. Essa curva é bastante utilizada para representar os custos de uma empresa com a produção de um produto.
- Dar o significado da constante .
- Verificar que, quando , a curva é côncava para baixo e interpretar esse resultado do ponto de vista da Economia.
- Supor , e e determinar, se existir, o valor de que fornece o custo médio mínimo.
- Usando os mesmos valores do item (c), determinar o nível de produção que minimiza o custo marginal no intervalo
Passo 1
(a) repare que não depende de , assim, podemos afirmar que ele representará o custo fixo para produção do produto.
(b) Para sabermos a concavidade da curva, precisamos fazer o teste da segunda derivada. Então vem comigo!
Derivando,
Derivando novamente:
Se o termo fica negativo, logo:
Como a segunda derivada deu negativa, então nossa curva terá concavidade para baixo. Isso significa que o custo marginal diminui à medida que a produção aumenta.
Passo 2
(c) Se considerarmos , e , temos o seguinte:
Para encontrar o custo mínimo, vamos derivar e igualar a zero. Derivando,
Igualando a zero:
Repare que não temos nenhum valor tal que .
O custo será mínimo
Passo 3
(d) Do item anterior, temos o seguinte:
Repare que quanto maior o valor de , mais próximo de 0 fica . Nesse item, temos o seguinte:
Portanto,
Resposta
(a)
O custo fixo para produção do produto.
(c)
Não existe
(d)