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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 25

Numa dada comunidade, uma certa epidemia alastra-se de tal forma que x meses após o seu início, P % da população estará infectada, onde P = 30 x 2 ( 1 + x 2 ) ² . Em quantos meses o número de pessoas infectadas atingirá o máximo e que porcentagem da população esse número representa?

Passo 1

Como queremos descobrir em quantos meses o número de pessoas atingirá o máximo, vamos encontrar a derivada da população e igualar a zero.

d P d x = 0 = 60 x 1 + x 2 2 - 30 x 2 * 2 1 + x 2 * 2 x 1 + x 2 4 60 x 1 + x 4 + 2 x 2 - 120 x 3 1 + x 2 1 + x 2 4 = 0 60 x + 60 x 5 + 120 x 3 - 120 x 3 - 120 x 5 1 + x 2 4 = 0 60 x - 60 x 5 1 + x 2 4 = 0

Passo 2

Para a expressão ser igual a zero, o numerador tem que ser igual a zero. Logo:

60 x - 60 x 5 = 0 x 60 - 60 x 4 = 0 x = 0   o u   x = ± 1

O número de meses não pode ser negativo nem zero. Logo, nossa resposta é x = 1 .

Passo 3

Agora vamos encontrar a parcela da população infectada nesse 1 mês.

P = 30 1 2 1 + 1 2 2 P = 30 2 2 P = 30 4 P = 7,5   %

Resposta

È necessário 1 mês para atingir o máximo de pessoas infectadas e a porcentagem da poppulação é de 7,5%.

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