Calcule a área das seguintes superfícies
b) Superfície do cone situada entre os planos e .
Passo 1
Uma maneira imediata de parametrizar o nosso cone é:
Vamos ver qual deve ser a condição que devem satisfazer.
Passo 2
Note que:
Assim, devem estar no interior da elipse acima.
Passo 3
A área poderá ser calculada a partir da integral:
onde é o interior da elipse .
Passo 4
Vamos então calcular as derivadas parciais:
Também,
Portanto,
Passo 5
Assim, segue que
Note que é a área da elipse:
Sabe-se que a área de uma elipse de semieixo maior e semieixo menor é
A nossa elipse possui eixo maior e . Sendo assim, sua área vale . Portanto,
Resposta
A área vale .