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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 4b

Calcule a área das seguintes superfícies

b) Superfície do cone z 2 = x 2 + y 2 situada entre os planos z = 0 e x + 2 z = 3 .

Passo 1

Uma maneira imediata de parametrizar o nosso cone é:

φ x , y = x ,   y ,   x 2 + y 2

Vamos ver qual deve ser a condição que x , y devem satisfazer.

Passo 2

Note que:

x + 2 z = 3 2 z = 3 - x 4 z 2 = 3 - x 2 4 z 2 = 9 - 6 x + x 2 4 x 2 + y 2 = 9 - 6 x + x 2 3 x 2 + 4 y 2 + 6 x = 9 3 x 2 + 2 x + 1 + 4 y 2 = 12 3 x + 1 2 + 4 y 2 = 12 x + 1 2 4 + y 2 3 = 1

Assim, x , y devem estar no interior da elipse acima.

Passo 3

A área poderá ser calculada a partir da integral:

A = ∬ D ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y   d x   d y

onde D é o interior da elipse x + 1 2 4 + y 2 3 = 1 .

Passo 4

Vamos então calcular as derivadas parciais:

∂ φ ∂ x = ∂ ∂ x x , ∂ ∂ x y , ∂ ∂ x x 2 + y 2 ∂ φ ∂ x = 1 ,   0 , x x 2 + y 2

Também,

∂ φ ∂ y = ∂ ∂ y x , ∂ ∂ y y , ∂ ∂ y x 2 + y 2 ∂ φ ∂ y = 0 ,   1 , y x 2 + y 2

Portanto,

∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = i j k 1 0 x x 2 + y 2 0 1 y x 2 + y 2 ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = - x x 2 + y 2 , - y x 2 + y 2 ,   1 ⟹ ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = 2

Passo 5

Assim, segue que

A = ∬ D 2   d y   d x = 2   ∬ D d y   d x

Note que ∬ D d y   d x é a área da elipse:

x - 1 2 4 + y 2 3 = 1

Sabe-se que a área de uma elipse de semieixo maior a e semieixo menor b é

S = π a b

A nossa elipse possui eixo maior a 2 = 4 ⟹ a = 2 e b 2 = 3 ⟹ b = 3 . Sendo assim, sua área vale S = π 2 3 . Portanto,

A = 2 π 6

Resposta

A área vale 2 π 6 .

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Encontrar a área do paraboloide z = x 2 + y 2 limitado superiormente pelo plano z = 2 .
Encontrar a área da superfície do cone z 2 = 3 ( x 2 + y 2 ) interceptado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 .
Calcular a área da parte do paraboloide x = y 2 + z 2 delimitada pelos planos x = 4 e x = 9 .
Determinar a área da porção do plano z = 4 x , cortada pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 .
Determinar a área da porção esférica x 2 + y 2 + z 2 = 4 cortada pela parte superior do cone x 2 + y 2 = z 2 .