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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 6b

Considere a superfície parametrizada por

φ r ,   θ =   r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   θ ,           0 ≤ r ≤ 1 ,             0 ≤ θ ≤ 4 π

b) Encontre uma expressão para um vetor normal à superfície

Passo 1

Quando nos é dado uma superfície parametrizada, podemos encontrar um vetor normal à ela da seguinte maneira:

n → = ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ

Passo 2

Portanto, vamos começar calculando as derivadas:

∂ φ ∂ r = ∂ ∂ r r cos ⁡ θ ,   ∂ ∂ r r sin ⁡ θ , ∂ ∂ r θ ∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ   ∂ ∂ r r   , sin ⁡ θ   ∂ ∂ r r , 0   ∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , 0

Também,

∂ φ ∂ θ = ∂ ∂ θ r cos ⁡ θ , ∂ ∂ θ r sin ⁡ θ   , ∂ ∂ θ θ ∂ φ ∂ θ = r ∂ ∂ θ cos ⁡ θ ,   r ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ,   1 ∂ φ ∂ θ = - r sin ⁡ θ ,   r cos ⁡ θ , 1

Passo 3

Logo, segue que

n → = i j k cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 - r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 1 n → = sin ⁡ θ ,   - cos ⁡ θ ,   r cos 2 ⁡ θ + r sin 2 ⁡ θ n → = sin ⁡ θ , - cos ⁡ θ , r

Resposta

n → = sin ⁡ θ ,   - cos ⁡ θ , r é um vetor normal à superfície.

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