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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 5c

c) Encontre a equação do plano tangente em (x_0 , y_0 , 0) .

Passo 1

Nos itens anteriores, vimos que

phi (u , t) = (cos u cosh t , sin u cos t , sinh t)

é a parametrização para o hiperboloide. Além disso, o vetor normal é:

vec n (u , t) = (cos u cosh^2 t , sin u cosh^2 t , - cosh t sinh t)

Vamos utilizar esses resultados para encontramos a equação do plano tangente.

Passo 2

Para z = 0 , devemos ter

sinh t = 0 ⟹ t = 0

Como cosh 0 = 1 , segue que cos u = x_0 e sin u = y_0 .

Passo 3

Dessa maneira, temos:

vec n (u , t) = (x_0 * 1^2 , y_0 * 1^2 , - 1 * 0) vec n (u , t) = (x_0 , y_0 , 0)

Passo 4

A equação do plano será:

x x_0 + y y_0 + 0 z + d = 0

O valor de d é obtido fazendo o plano passar por (x_0 , y_0 , 0) :

x_0 * x_0 + y_0 * y_0 + d = 0 d = - x_0^2 - y_0^2

Portanto, temos:

x x_0 + y y_0 - x_0^2 - y_0^2 = 0 x x_0 + y y_0 = x_0^2 + y_0^2

Porém, da equação do hiperboloide, temos que

x_0^2 + y_0^2 = 1

Assim, a equação do plano é:

x x_0 + y y_0 = 1

Resposta

A equação é x x_0 + y y_0 = 1 .

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