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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 4b

Dada a esfera de raio 2 centrada na origem, encontre a equação do planto tangente a ela no ponto 1,1 , 2 , considerando a esfera como:

b) Uma esfera de nível de F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .

Passo 1

Temos a função de três variáveis F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 . Quando tomamos o nível F x , y , z = 4 , encontramos justamente a equação da esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Além disso, sabemos que a equação do plano tangente a superfície de nível F x ,   y , z no ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 é dada por:

∇ F x 0 ,   y 0 , z 0 ⋅ x , y , z - x 0 , y 0 , z 0 = 0

Passo 2

Vamos começar calculando ∇ F x , y , z :

∇ F x , y , z = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z ∇ F x , y , z = 2 x ,   2 y ,   2 z

Assim, para x , y , z = 1 ,   1 ,   2 , temos:

∇ F 1 ,   1 , 2 = 2 ⋅ 1,2 ⋅ 1 ,   2 ⋅ 2 ∇ F 1,1 , 2 = 2 ,   2   , 2 2

Passo 3

Portanto, segue que:

2 ,   2 ,   2 2 ⋅ x - 1 ,   y - 1 ,   z - 2 = 0 2 x - 1 + 2 y - 1 + 2 2 z - 2 = 0 2 x + 2 y + 2 2 z - 8 = 0 x + y + 2 z - 4 = 0

Resposta

x + y + 2 z - 4 = 0 .

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Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r u , v = u , v 3 , - v , - 2 ≤ u ≤ 2 ,- 2 ≤ v ≤ 2
Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r u , v = u 2 , v 2 , u + v , - 1 ≤ u ≤ 1 ,- 1 ≤ v ≤ 1
Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. x = s e nu ,y = cos ⁡ us e n4 v ,z = s e nv , 0 ≤ u ≤ 2 π ,0 ≤ v ≤ 2 π
Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r u , v = u , s e n ( u + v ) , s e nv , - π ≤ u ≤ π ,- π ≤ v ≤ π
Nos exercícios 21 a 45, escrever uma representação paramétrica para a superfície dada.43) Parte do plano x + y + z = 4 , que está no primeiro octante.